Calcule as primeiras 3 derivadas de y(x) = e^(1 / x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular as três primeiras derivadas da função . Isso está dentro do conteúdo de cálculo, especificamente no estudo de derivadas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada, . A função é , onde .
A regra da cadeia diz que a derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a .
Então,
Calculando a derivada de :
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos para a segunda derivada, . Temos:
Para derivar isso, vamos usar novamente a regra do produto. Podemos reescrever como:
Aplicando a regra do produto:
Já sabemos que:
E:
Substituindo:

Passo 4

Agora, vamos calcular a terceira derivada, . A gente tem:
Vamos derivar termo a termo. Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Somando os dois resultados:

Resposta

As três primeiras derivadas da função são:

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