Considere a função f(x) = (16 - x^2) / (x - 2)^2. Mostre que f'(x) = 4(x-8)/((x-2)^3) e encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de f.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos:
  1. Mostrar que a derivada dessa função é .
  2. Encontrar os intervalos onde a função está crescendo e decrescendo.
Para resolver isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente para derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de usando a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos uma função , sua derivada é:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular e :

Passo 4

Agora, aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador passo a passo.

Passo 5

Primeiro, distribuímos os termos:

Passo 6

Agora, somamos as duas partes do numerador:
Então, o numerador simplificado é .

Passo 7

Agora, temos:
Podemos fatorar o numerador:
Então:

Passo 8

Prontinho! Mostramos que:
Agora, vamos encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento da função .

Passo 9

Para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal da derivada :
O sinal de depende do sinal de e de .

Passo 10

Vamos identificar os pontos críticos onde ou não está definido:
  1. quando .
  2. não está definido quando .
Portanto, temos pontos críticos em e .

Passo 11

Agora, vamos analisar o sinal de nos intervalos determinados pelos pontos críticos:

Passo 12

Intervalo :
Escolha :
Como , a função está crescente nesse intervalo.

Passo 13

Intervalo :
Escolha :
Como , a função está decrescente nesse intervalo.

Passo 14

Intervalo :
Escolha :
Como , a função está crescente nesse intervalo.

Resposta

A derivada da função é . A função está crescendo nos intervalos e e está decrescendo no intervalo .

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