Considere a função
. Mostre que
e encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos:
- Mostrar que a derivada dessa função é
. - Encontrar os intervalos onde a função está crescendo e decrescendo.
Para resolver isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente para derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
usando a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos uma função
, sua derivada é:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular
e
:
Passo 4
Agora, aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador passo a passo.
Passo 5
Primeiro, distribuímos os termos:
Passo 6
Agora, somamos as duas partes do numerador:
Então, o numerador simplificado é
.
Passo 7
Agora, temos:
Podemos fatorar o numerador:
Então:
Passo 8
Prontinho! Mostramos que:
Agora, vamos encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento da função
.
Passo 9
Para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal da derivada
:
O sinal de
depende do sinal de
e de
.
Passo 10
Vamos identificar os pontos críticos onde
ou não está definido:
-
quando . -
não está definido quando .
Portanto, temos pontos críticos em
e
.
Passo 11
Agora, vamos analisar o sinal de
nos intervalos determinados pelos pontos críticos:
Passo 12
Intervalo
:
Escolha
:
Como
, a função está crescente nesse intervalo.
Passo 13
Intervalo
:
Escolha
:
Como
, a função está decrescente nesse intervalo.
Passo 14
Intervalo
:
Escolha
:
Como
, a função está crescente nesse intervalo.
Resposta
A derivada da função é
. A função
está crescendo nos intervalos
e
e está decrescendo no intervalo
.