Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de
. Aqui, estamos lidando com derivadas de funções que têm expoentes variáveis, então vamos precisar usar algumas regras de derivação avançadas, como a diferenciação logarítmica.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar a função de
:
Para facilitar a derivação, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados da equação. Isso vai nos ajudar a lidar com o expoente que é uma função.
Passo 3
Aplicando o logaritmo natural:
Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para a frente, temos:
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então usaremos a regra da cadeia no lado esquerdo.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito, que é um produto de duas funções ( e
), usaremos a regra do produto:
Passo 5
Igualando as derivações dos dois lados:
Agora, isolamos
:
Lembrando que , substituímos de volta:
Resposta
A derivada de é:
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<div>Encontre a solução geral da equação (1) utilizando o método dos coeficientes a determinar.</div>
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG” display=“true”><svg style=“vertical-align: -0.464ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“18.468ex” height=“2.4ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -855.6 8163.1 1060.6”><title>y = sen(x^2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msup”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D466” d=“M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 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<div>Encontre a solução geral da equação (1) utilizando o método dos coeficientes a determinar.</div>
</body></html>