Calcule (x^sen(x))'

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de . Aqui, estamos lidando com derivadas de funções que têm expoentes variáveis, então vamos precisar usar algumas regras de derivação avançadas, como a diferenciação logarítmica.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a função de :
Para facilitar a derivação, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados da equação. Isso vai nos ajudar a lidar com o expoente que é uma função.

Passo 3

Aplicando o logaritmo natural:
Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para a frente, temos:

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então usaremos a regra da cadeia no lado esquerdo.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito, que é um produto de duas funções ( e ), usaremos a regra do produto:

Passo 5

Igualando as derivações dos dois lados:
Agora, isolamos :
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada de é:

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