Considere a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
Encontre a solução geral da equação (2) utilizando o método da variação de parâmetros.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem não-homogênea que é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares e vamos usar o método da variação de parâmetros para encontrar a solução geral. Para isso, precisamos primeiro encontrar a solução da equação homogênea associada e depois aplicar a variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea pode ser encontrada resolvendo a equação característica.
Passo 3
Para encontrar a solução da equação homogênea, escrevemos a equação característica:
Resolvendo para
:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) da equação não-homogênea usando o método da variação de parâmetros. A ideia é assumir que as constantes
e
sejam funções de
:
Passo 5
Para determinar
e
, usamos as seguintes equações:
Essas equações vêm da derivação de
e da imposição de que a derivada segunda de
satisfaça a equação original.
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Primeiro, da primeira equação:
E da segunda equação:
Podemos multiplicar a equação (1) por 2 para facilitar:
Agora, somando a equação (2) com a equação (3):
Resolvendo para
:
E substituindo
na equação (1):
Passo 7
Agora, integramos
e
para encontrar
e
:
Essas integrais podem ser resolvidas usando substituições apropriadas, mas para simplificar, podemos reconhecer que as integrais resultarão em funções que, quando substituídas de volta, fornecerão a solução particular.
Passo 8
Finalmente, combinamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação:
Após resolver as integrais, teremos a expressão completa para
, e assim teremos a solução geral completa.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.