Calcule os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função
em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função
em torno de
. Isso está dentro do conteúdo de séries de Laurent, que são usadas para representar funções complexas perto de pontos singulares. Para resolver isso, vamos precisar entender a série de Taylor da função seno e depois inverter para encontrar a série de Laurent da cosecante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
. Para achar a série de Laurent, vamos começar expandindo
em série de Taylor em torno de
. A série de Taylor de
é:
Passo 3
Agora, queremos encontrar
, que é
. Para isso, vamos inverter a série de Taylor de
. Considerando apenas os primeiros termos, temos:
Podemos fatorar
do denominador:
Usando a série geométrica
, onde
, temos:
Multiplicando por
:
Passo 4
Até aqui, encontramos os primeiros termos da expansão de Laurent de
em torno de
. Para os quatro primeiros termos, precisamos continuar um pouco mais:
Podemos calcular mais um termo se quisermos:
Resposta
Os primeiros quatro termos da expansão de Laurent de
em torno de
são: