Calcule os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função f(z) = csc(z) em torno de z0 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função em torno de . Isso está dentro do conteúdo de séries de Laurent, que são usadas para representar funções complexas perto de pontos singulares. Para resolver isso, vamos precisar entender a série de Taylor da função seno e depois inverter para encontrar a série de Laurent da cosecante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que . Para achar a série de Laurent, vamos começar expandindo em série de Taylor em torno de . A série de Taylor de é:

Passo 3

Agora, queremos encontrar , que é . Para isso, vamos inverter a série de Taylor de . Considerando apenas os primeiros termos, temos:
Podemos fatorar do denominador:
Usando a série geométrica , onde , temos:
Multiplicando por :

Passo 4

Até aqui, encontramos os primeiros termos da expansão de Laurent de em torno de . Para os quatro primeiros termos, precisamos continuar um pouco mais:
Podemos calcular mais um termo se quisermos:

Resposta

Os primeiros quatro termos da expansão de Laurent de em torno de são:

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