Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o raio de convergência da série . Nós estamos lidando com séries de potência, que são somas infinitas onde cada termo tem a forma . Para encontrar o raio de convergência, vamos precisar usar o Teste da Razão, uma técnica da análise matemática que nos ajuda a saber até onde a série “funciona” ou converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da série. Na nossa série, cada termo é , então o coeficiente é . Ou seja, nossa série é com .
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. Esse teste diz que, para uma série de potência , o raio de convergência é dado por:
Então, precisamos calcular akak+1.
Passo 4
Substituindo os valores de ak e ak+1, temos:
akak+1 = k e^-k(k+1) e^-(k+1) = k e^-k(k+1) e^-k e^-1 = kk+1 cdot e^1
Passo 5
Simplificando a expressão:
akak+1 = kk+1 cdot e
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando k tende ao infinito.