Determine o raio de convergência (rho) da série: sumk=0^infty k e^-k z^k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o raio de convergência (rho) da série sumk=0^infty k e^-k z^k. Nós estamos lidando com séries de potência, que são somas infinitas onde cada termo tem a forma ak z^k. Para encontrar o raio de convergência, vamos precisar usar o Teste da Razão, uma técnica da análise matemática que nos ajuda a saber até onde a série “funciona” ou converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da série. Na nossa série, cada termo é k e^-k z^k, então o coeficiente ak é k e^-k. Ou seja, nossa série é sumk=0^infty ak z^k com ak = k e^-k.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. Esse teste diz que, para uma série de potência sum ak z^k, o raio de convergência rho é dado por:
rho = limk to infty | akak+1 |
Então, precisamos calcular akak+1.

Passo 4

Substituindo os valores de ak e ak+1, temos:
akak+1 = k e^-k(k+1) e^-(k+1) = k e^-k(k+1) e^-k e^-1 = kk+1 cdot e^1

Passo 5

Simplificando a expressão:
akak+1 = kk+1 cdot e
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando k tende ao infinito.

Passo 6

Calculando o limite:

Resposta

Então, o raio de convergência da série é rho = e.

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