Seja
, com
. Calcule a parte principal de
.
Resposta:1/z.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função definida no domínio
. O objetivo é calcular a parte principal dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especialmente séries de Laurent, que nos ajudam a representar funções complexas perto de pontos singulares. A parte principal é basicamente a parte da série que tem potências negativas de
.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como expandir
e em séries de potências. A série de Taylor para
é:
Já a série de Taylor para é:
Passo 3
Agora, queremos encontrar . Podemos inverter a série de para obter:
Para simplificar, consideramos apenas os primeiros termos, já que estamos procurando a parte principal (termos com potências negativas de
):
Passo 4
Agora, multiplicamos a série de
pela série aproximada de :
Distribuindo os termos, focando nos que vão contribuir com potências negativas de
:
Aqui, o único termo com potência negativa é
.
Resposta
A parte principal de
é
.
Exercícios relacionados
Determine o raio de convergência
da série:
.
Seja
. Deduzir o valor da integral
.
Calcule os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função
em torno de
.
Mostre que se uma série de potência
converge para
, onde
é positivo, então ela também convergirá no intervalo
.