Seja f(z) = e^z / sen(z), com z in D={x+i y:|x|<1,|y|<1}. Calcule a parte principal de f(z). y = sen(x^2) Resposta:1/z. 83

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função definida no domínio . O objetivo é calcular a parte principal dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especialmente séries de Laurent, que nos ajudam a representar funções complexas perto de pontos singulares. A parte principal é basicamente a parte da série que tem potências negativas de .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como expandir e em séries de potências. A série de Taylor para é:
Já a série de Taylor para é:

Passo 3

Agora, queremos encontrar . Podemos inverter a série de para obter:
Para simplificar, consideramos apenas os primeiros termos, já que estamos procurando a parte principal (termos com potências negativas de ):

Passo 4

Agora, multiplicamos a série de pela série aproximada de :
Distribuindo os termos, focando nos que vão contribuir com potências negativas de :
Aqui, o único termo com potência negativa é .

Resposta

A parte principal de é .

Exercícios relacionados

Determine o raio de convergência (rho) da série: sumk=0^infty k e^-k z^k.
Seja gamma=partial D(0,1). Deduzir o valor da integral integral0^2 pi cos ^2 n t d t e integral0^2 pi sen^2 n t d t.
Calcule os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função f(z) = z / ((z - 1)(z - 3)(z - 5)) em torno de z0 = 1.
Mostre que se uma série de potência
sumn=0^infty cn x^n, cn>0
converge para x=R, onde R é positivo, então ela também convergirá no intervalo -R <= x <= R.