Calcule uma primitiva F(x) para as funções f(x) abaixo. f(x) = x sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar uma primitiva para a função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente de Integração, e vamos precisar usar a técnica de integração por partes para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma primitiva. Basicamente, uma primitiva de é uma função cuja derivada é . Ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula de integração por partes é:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa função vão ser e .

Passo 4

No nosso caso, temos . Vamos escolher:
  • (porque a derivada de é mais simples)

Passo 5

Agora, vamos calcular e :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 6

Substituindo na fórmula de integração por partes:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos integrar :
Então, substituindo de volta:
Onde é a constante de integração.

Resposta

Uma primitiva para é:

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