Calcule a primitiva mais geral das seguintes funções:
g(t) = (e^t + 1)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a primitiva mais geral da função . Isso significa que queremos encontrar uma função cuja derivada seja igual a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a técnica de expansão de expressões algébricas para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o quadrado da soma dentro da função . Isso vai nos ajudar a simplificar a expressão e integrar termo a termo. Então, temos:

Passo 3

Agora que a função está expandida, podemos integrar cada termo separadamente. A regra básica de integração que vamos usar aqui é:
onde é uma constante e é a constante de integração.

Passo 4

Vamos integrar cada termo da expressão expandida:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Agora, somamos as integrais dos três termos:
Aqui, representa a constante de integração geral, que é a soma das constantes , e .

Resposta

A primitiva mais geral de é:

Exercícios relacionados

Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
L^{-1}{1/(s^{2}+2 s-3)};
Calcule a primitiva mais geral das seguintes funções:
f(x) = 3 e^x - 1 / x^4
Calcule a primitiva mais geral das seguintes funções:
f(x) = raiz(2) / (3 + 3 x^2)
Obtenha r'(t): r(t) = arctg(t) * i + t * cos(t) * j - raiz(t) * k