Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a transformada inversa de uma função de Laplace, que é uma ferramenta muito útil na resolução de equações diferenciais. Para isso, vamos precisar entender como quebrar a fração que temos e aplicar as regras de transformadas inversas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função que precisamos inverter:
Para achar a transformada inversa, precisamos simplificar essa fração. O jeito mais fácil é fatorar o denominador.
Passo 3
Vamos fatorar o denominador
. Para isso, procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
.
Então:
Passo 4
Agora que fatoramos o denominador, nossa função fica:
Vamos dividir essa fração em frações mais simples usando a fração parcial. Ou seja, queremos escrever:
onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 5
Para encontrar
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador
:
Agora, escolhemos valores de
que simplificam a equação.
-
Quando
: -
Quando
:
Passo 6
Agora que encontramos
e
, podemos reescrever a fração original:
Ou, de forma mais simples:
Passo 7
Agora, vamos usar a tabela de transformadas de Laplace. Sabemos que:
Portanto, a transformada inversa de
é
.
Aplicando isso às nossas frações:
Passo 8
Finalmente, aplicando a linearidade da transformada inversa, temos:
Resposta
A transformada inversa é: