Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
L^{-1}{1/(s^{2}+2 s-3)};

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a transformada inversa de uma função de Laplace, que é uma ferramenta muito útil na resolução de equações diferenciais. Para isso, vamos precisar entender como quebrar a fração que temos e aplicar as regras de transformadas inversas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que precisamos inverter:
Para achar a transformada inversa, precisamos simplificar essa fração. O jeito mais fácil é fatorar o denominador.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador . Para isso, procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e .
Então:

Passo 4

Agora que fatoramos o denominador, nossa função fica:
Vamos dividir essa fração em frações mais simples usando a fração parcial. Ou seja, queremos escrever:
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 5

Para encontrar e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador :
Agora, escolhemos valores de que simplificam a equação.
  • Quando :
  • Quando :

Passo 6

Agora que encontramos e , podemos reescrever a fração original:
Ou, de forma mais simples:

Passo 7

Agora, vamos usar a tabela de transformadas de Laplace. Sabemos que:
Portanto, a transformada inversa de é .
Aplicando isso às nossas frações:

Passo 8

Finalmente, aplicando a linearidade da transformada inversa, temos:

Resposta

A transformada inversa é:

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