Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
L^{-1}{s/(s^{2}+4s+5)};

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da função . Isso significa que vamos voltar da representação no domínio de para o domínio do tempo . Para isso, precisamos conhecer as propriedades das transformadas de Laplace e saber como decompor frações racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da função: . Precisamos fatorar esse polinômio ou completá-lo para facilitar a aplicação da transformada inversa. Vamos tentar completar o quadrado.

Passo 3

Para completar o quadrado, reescrevemos da seguinte forma:
Isso nos ajuda a identificar uma forma que lembra a transformada inversa de funções envolvendo exponenciais e senos ou cossenos.

Passo 4

Agora, reescrevemos a função original usando essa forma completada:
Para facilitar, vamos ajustar o numerador para corresponder à forma padrão da transformada inversa. Note que:

Passo 5

Agora, separamos a expressão em duas partes:
Isso nos permite aplicar diretamente as transformadas inversas conhecidas.

Passo 6

Lembrando das propriedades da transformada de Laplace, sabemos que:
No nosso caso, e .

Passo 7

Aplicando essas fórmulas:
Para :
Para :
Primeiro, ajustamos para coincidir com a fórmula padrão multiplicando e dividindo por 1:
Então:

Resposta

Portanto, a transformada inversa de é:

Exercícios relacionados

Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
L^{-1}(1/(s^{2}(s+4)));
Calcule a primitiva mais geral das seguintes funções:
g(x) = ln(x) / (x ln(x^2)), em que ln denota o logaritmo de base e (base natural).
Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
L^{-1}{1/((s-2)(s^{2}+4 s+3))};
Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
L^(-1){(t-1)^{3} e^{t-1} U(t-1)}.