Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da função
. Isso significa que vamos voltar da representação no domínio de
para o domínio do tempo
. Para isso, precisamos conhecer as propriedades das transformadas de Laplace e saber como decompor frações racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da função:
. Precisamos fatorar esse polinômio ou completá-lo para facilitar a aplicação da transformada inversa. Vamos tentar completar o quadrado.
Passo 3
Para completar o quadrado, reescrevemos
da seguinte forma:
Isso nos ajuda a identificar uma forma que lembra a transformada inversa de funções envolvendo exponenciais e senos ou cossenos.
Passo 4
Agora, reescrevemos a função original usando essa forma completada:
Para facilitar, vamos ajustar o numerador para corresponder à forma padrão da transformada inversa. Note que:
Passo 5
Agora, separamos a expressão em duas partes:
Isso nos permite aplicar diretamente as transformadas inversas conhecidas.
Passo 6
Lembrando das propriedades da transformada de Laplace, sabemos que:
No nosso caso,
e
.
Passo 7
Aplicando essas fórmulas:
Para
:
Para
:
Primeiro, ajustamos para coincidir com a fórmula padrão multiplicando e dividindo por 1:
Então:
Resposta
Portanto, a transformada inversa de
é:
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Calcule a primitiva mais geral das seguintes funções:
, em que
denota o logaritmo de base e (base natural).
Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
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