Inverta a ordem de integração. integral0^1[integral-raizy^raizy f(x, y) d x] d y;

Passo 1

Então, a gente tem uma integral dupla onde a ordem de integração está definida primeiro para e depois para . O exercício pede para inverter essa ordem de integração. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a troca de ordem de integração em integrais duplas. Para resolver isso, precisamos entender a região de integração e reescrevê-la de maneira que o seja integrado primeiro e o depois.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral original é:
integral0^1 [ integral-raizy^raizy f(x, y) , dx ] dy
Aqui, varia de 0 a 1, e para cada , varia de a . Vamos desenhar essa região no plano para visualizar melhor.

Passo 3

Desenhando no plano , temos que e são as fronteiras para em termos de . Essas curvas representam parábolas abertas para a direita e para a esquerda, respectivamente. A região de integração fica entre essas duas curvas, desde até .

Passo 4

Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar y = x^2 em termos de . Observando as equações e , podemos resolver para :
Agora, determinamos os limites para . Como varia de 0 a 1, e , os valores de vão de a .

Passo 5

Com isso, para um dado , varia de até . Portanto, a nova ordem de integração será primeiro em de a , e depois em de a .

Resposta

Após inverter a ordem de integração, a integral fica:
integral-1^1 [ integralx^2^1 f(x, y) , dy ] dx

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