Inverta a ordem de integração.
;
Passo 1
Então, a gente tem uma integral dupla onde a ordem de integração está definida primeiro para
e depois para
. O exercício pede para inverter essa ordem de integração. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a troca de ordem de integração em integrais duplas. Para resolver isso, precisamos entender a região de integração e reescrevê-la de maneira que o
seja integrado primeiro e o
depois.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral original é:
Aqui,
varia de 0 a 1, e para cada
,
varia de
a
. Vamos desenhar essa região no plano
para visualizar melhor.
Passo 3
Desenhando no plano
, temos que
e
são as fronteiras para
em termos de
. Essas curvas representam parábolas abertas para a direita e para a esquerda, respectivamente. A região de integração fica entre essas duas curvas, desde
até
.
Passo 4
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. Observando as equações
e
, podemos resolver para
:
Agora, determinamos os limites para
. Como
varia de 0 a 1, e
, os valores de
vão de
a
.
Passo 5
Com isso, para um dado
,
varia de
até
. Portanto, a nova ordem de integração será primeiro em
de
a
, e depois em
de
a
.
Resposta
Após inverter a ordem de integração, a integral fica:
Exercícios relacionados
Encontre a derivada da função.
Calcule as derivadas das funções abaixo:
d)
d)
Calcule as primitivas abaixo:
c. .
c.
Calcule as derivadas das funções abaixo:
g)
g)