Encontre a derivada da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia e a regra do quociente, que são ferramentas básicas do cálculo para derivar funções mais complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que vão se encaixar na regra da cadeia. A função
é uma composição de duas funções:
- A função externa é
, onde . - A função interna é o quociente
.
Então, para aplicar a regra da cadeia, vamos derivar a função externa em relação a
e depois multiplicar pela derivada da função interna em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar a função externa
. A derivada de
em relação a
é
. Então,
Passo 4
Agora, vamos derivar a função interna
em relação a
. Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que se
, então
Aqui,
e
. Vamos derivar cada parte:
Substituindo na fórmula da regra do quociente:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra da cadeia:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Resposta
A derivada da função é:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas das funções abaixo:
d)
d)
Ajuste os expoentes e, fazendo uso da Regra do Tombo, calcule a derivada das seguintes funções:
p)
p)
Inverta a ordem de integração.
;
Calcule as primitivas abaixo:
c. .
c.