Encontre a derivada da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função . Para isso, vamos usar a regra da cadeia e a regra do quociente, que são ferramentas básicas do cálculo para derivar funções mais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vão se encaixar na regra da cadeia. A função é uma composição de duas funções:
  1. A função externa é , onde .
  2. A função interna é o quociente .
Então, para aplicar a regra da cadeia, vamos derivar a função externa em relação a e depois multiplicar pela derivada da função interna em relação a .

Passo 3

Vamos derivar a função externa . A derivada de em relação a é . Então,

Passo 4

Agora, vamos derivar a função interna em relação a . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que se , então
Aqui, e . Vamos derivar cada parte:
Substituindo na fórmula da regra do quociente:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas das funções abaixo:
d)
Ajuste os expoentes e, fazendo uso da Regra do Tombo, calcule a derivada das seguintes funções:
p)
Inverta a ordem de integração. ;
Calcule as primitivas abaixo:
c. .