Calcule as primitivas abaixo:
d. integral u^3+1u^2+1 d u.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde temos que calcular a primitiva de em relação a . Isso envolve o conteúdo de integração por partes e divisão de polinômios. Para isso, vamos precisar dividir o polinômio do numerador pelo denominador e simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o numerador u^3 + 1u^2 + 1 = u + -u + 1u^2 + 1 pelo denominador u + -u + 1u^2 + 1 . Isso é parecido com fazer uma divisão de números, mas com polinômios.
Dividindo por , temos:
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos separar a integral em duas partes:
integral (u + -u + 1u^2 + 1) du = integral u , du + integral -u + 1u^2 + 1 du

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral integral u , du = u^22 + C1 :
Onde é uma constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral integral -uu^2 + 1 du + integral 1u^2 + 1 du . Podemos separar essa fração em duas partes:

Passo 6

Para a primeira parte integral -uu^2 + 1 du = -12 integral 1v dv = -12 ln|v| + C2 = -12 ln(u^2 + 1) + C2 , fazemos uma substituição , então , ou seja, . Substituindo:

Passo 7

Para a segunda parte integral 1u^2 + 1 du = tan^-1(u) + C3 , sabemos que a integral é o arco-tangente:

Passo 8

Juntando todas as partes, temos:
u^22 - 12 ln(u^2 + 1) + tan^-1(u) + C
Onde é a constante geral de integração.

Resposta

A primitiva de u^22 - 12 ln(u^2 + 1) + tan^-1(u) + C em relação a é:

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