Calcule as seguintes primitivas:
c. integral 1t^2 raizt^2+1 d t.

Passo 1

Então, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de primitivas, ou seja, encontrar funções cuja derivada seja a função dada. Para resolver isso, vamos usar uma técnica de substituição que facilita a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = 1t
Isso significa que .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudt = -1t^2 implies du = -1t^2 , dt implies dt = -t^2 , du em relação a dt = -(1u)^2 du = -1u^2 du para substituir na integral. Derivando ambos os lados:
Mas como , podemos escrever . Substituindo na expressão de :

Passo 4

Substituindo integral 1t^2 raizt^2+1 , dt = integral 1(1u)^2 raiz(1u)^2+1 (-1u^2 du) e = -integral u^2raiz1u^2 + 1 cdot 1u^2 , du = -integral 1raiz1 + u^2u^2 , du na integral original:
= -integral uraiz1 + u^2 , du
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral v = 1 + u^2 implies dv = 2u , du implies dv2 = u , du . Para isso, fazemos outra substituição:
- integral uraiz1 + u^2 , du = -integral 1raizv cdot dv2 = -12 integral v^-1/2 , dv
Substituindo na integral:
- 12 cdot 2 v^1/2 + C = -raizv + C
Integrando:
- raiz1 + u^2 + C
Substituindo - raiz1 + (1t)^2 + C = -raizt^2 + 1t + C :
E lembrando que :

Resposta

Portanto, a primitiva da função dada é:
integral 1t^2 raizt^2+1 , dt = -raizt^2 + 1t + C
onde é a constante de integração.

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