Calcule as seguintes primitivas:
f.
.
f.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com uma primitiva, ou seja, encontrar uma função cuja derivada é a função dada. Para isso, vamos precisar usar técnicas de integração por substituição e completar o quadrado dentro da raiz para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
. Para facilitar a integração, vamos completar o quadrado nesse polinômio.
Reescrevendo:
Vamos fatorar o -1 dos termos quadráticos:
Agora, completamos o quadrado para
:
Substituindo de volta:
Então, a expressão dentro da raiz fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
Então,
e
. Substituindo na integral:
Podemos separar a integral em duas partes:
Passo 4
Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira parte:
Aqui, podemos usar a substituição:
Então, a integral fica:
Segunda parte:
Essa é uma integral padrão que resulta em:
Passo 5
Agora, juntando as duas partes, temos:
Lembre-se que
, então substituímos de volta:
Resposta
A primitiva da função é:
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Calcule as seguintes primitivas:
c. .
c.
Suponha que
e
para todos os valores de
. Quão grande
pode ser?
Calcule as primitivas abaixo:
d. .
d.
Seja
uma função duas vezes derivável tal que
é contínua. Sabendo que
e
, calcule:
a. .
a.