Calcule as seguintes primitivas:
f. integral wraiz8-2 w-w^2 d w.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral wraiz8 - 2w - w^2 , dw. Aqui, estamos lidando com uma primitiva, ou seja, encontrar uma função cuja derivada é a função dada. Para isso, vamos precisar usar técnicas de integração por substituição e completar o quadrado dentro da raiz para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: 8 - 2w - w^2. Para facilitar a integração, vamos completar o quadrado nesse polinômio.
Reescrevendo:
8 - 2w - w^2 = -w^2 - 2w + 8
Vamos fatorar o -1 dos termos quadráticos:
= -(w^2 + 2w) + 8
Agora, completamos o quadrado para w^2 + 2w:
w^2 + 2w = (w + 1)^2 - 1
Substituindo de volta:
= -[(w + 1)^2 - 1] + 8 = - (w + 1)^2 + 1 + 8 = - (w + 1)^2 + 9
Então, a expressão dentro da raiz fica:
raiz8 - 2w - w^2 = raiz9 - (w + 1)^2

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
u = w + 1
Então, du = dw e w = u - 1. Substituindo na integral:
integral wraiz9 - u^2 , du = integral u - 1raiz9 - u^2 , du
Podemos separar a integral em duas partes:
integral uraiz9 - u^2 , du - integral 1raiz9 - u^2 , du

Passo 4

Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira parte:
integral uraiz9 - u^2 , du
Aqui, podemos usar a substituição:
v = 9 - u^2 Rightarrow dv = -2u , du Rightarrow -12 dv = u , du
Então, a integral fica:
-12 integral 1raizv , dv = -12 cdot 2raizv + C = -raizv + C = -raiz9 - u^2 + C
Segunda parte:
integral 1raiz9 - u^2 , du
Essa é uma integral padrão que resulta em:
arcsin(u3) + C

Passo 5

Agora, juntando as duas partes, temos:
-raiz9 - u^2 - arcsin(u3) + C
Lembre-se que u = w + 1, então substituímos de volta:
-raiz9 - (w + 1)^2 - arcsin(w + 13) + C

Resposta

A primitiva da função é:
-raiz9 - (w + 1)^2 - arcsin(w + 13) + C

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