Calcule as seguintes primitivas:
f. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma primitiva, ou seja, encontrar uma função cuja derivada é a função dada. Para isso, vamos precisar usar técnicas de integração por substituição e completar o quadrado dentro da raiz para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: . Para facilitar a integração, vamos completar o quadrado nesse polinômio.
Reescrevendo:
Vamos fatorar o -1 dos termos quadráticos:
Agora, completamos o quadrado para :
Substituindo de volta:
Então, a expressão dentro da raiz fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
Então, e . Substituindo na integral:
Podemos separar a integral em duas partes:

Passo 4

Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira parte:
Aqui, podemos usar a substituição:
Então, a integral fica:
Segunda parte:
Essa é uma integral padrão que resulta em:

Passo 5

Agora, juntando as duas partes, temos:
Lembre-se que , então substituímos de volta:

Resposta

A primitiva da função é:

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes primitivas:
c. .
Suponha que e para todos os valores de . Quão grande pode ser?
Calcule as primitivas abaixo:
d. .
Seja uma função duas vezes derivável tal que é contínua. Sabendo que e , calcule:
a. .