Seja f: R R uma função duas vezes derivável tal que f^prime prime(x) é contínua. Sabendo que f(0)=2, f^prime(0)=0, f^prime prime(0)=-1, f(1)=2, f^prime(1)=1 e f^prime prime(1)=-1, calcule:
a. integral0^1 f^prime(x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral . O que a gente sabe é que é uma função que pode ser derivada duas vezes e que a segunda derivada é contínua. Temos também alguns valores específicos de , e em e . Para resolver essa integral, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que liga a derivada de uma função com a sua integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele nos diz que se temos uma função contínua integrala^b f^prime(x) , dx = f(b) - f(a) em um intervalo , então:
Ou seja, a integral da derivada de de até é igual à diferença dos valores de em e em .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, onde integral0^1 f^prime(x) , dx = f(1) - f(0) e , temos:
Agora, só precisamos substituir os valores que a gente já conhece.

Passo 4

Segundo o enunciado:
f(1) = 2 e f(0) = 2
Então:
integral0^1 f^prime(x) , dx = 2 - 2 = 0

Resposta

A integral vale 0.

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