Calcule as primitivas abaixo:
d. integral e^z-e^-z1+e^z+e^-z d z.

Passo 1

Ok, vamos resolver o exercício de encontrar a primitiva da função . Aqui, estamos trabalhando com integrais, especificamente buscando uma antiderivada dessa expressão. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é bem útil quando conseguimos simplificar a integral transformando-a em uma forma mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar o denominador de t = 1 + e^z + e^-z :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dtdz = e^z - e^-z em relação a , ou seja, :
Note que o numerador da nossa integral original é exatamente , que é .

Passo 4

Com essa substituição, podemos reescrever a integral original em termos de integral e^z - e^-z1 + e^z + e^-z dz = integral dtt :

Passo 5

A integral de integral dtt = ln|t| + C em relação a é uma função logarítmica. Portanto:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A primitiva é .

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