Nos problemas de 6-7, resolva a equação diferencial dada sujeita a condição inicial indicada.
Resp:
Resp:
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial na forma
é exata se
.
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 4
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Resolvendo para
:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 5
Assim, a função
completa fica:
Aplicando a condição inicial
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: