Nos problemas de 6-7, resolva a equação diferencial dada sujeita a condição inicial indicada.
(x - y) dx + (2y - x) dy = 0, y(0) = 1
Resp: 2y^2 + x^2 - 2xy = 2

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . Vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial na forma é exata se .
Aqui, e .
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 3

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 4

Agora, derivamos em relação a e igualamos a para encontrar :
Resolvendo para :
Onde é uma constante de integração.

Passo 5

Assim, a função completa fica:
Aplicando a condição inicial :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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