Calcule as primitivas abaixo:
f. integral wraiz[3]4+w^2 d w.

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de primitivas, especificamente envolvendo substituição u. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica de substituição e entender como manipular exponenciais fracionárias.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Observamos que o denominador é uma raiz cúbica de integral w(4 + w^2)^1/3 , dw , o que pode ser reescrito como . Assim, a integral fica:
Aqui, identificamos que uma substituição u simplificaria a integral.

Passo 3

Vamos fazer a substituição dudw = 2w Rightarrow du = 2w , dw Rightarrow w , dw = du2 . Para isso, diferenciamos u em relação a w:
integral wu^1/3 , dw = integral 1u^1/3 cdot du2 = 12 integral u^-1/3 , du
Substituindo na integral original:

Passo 4

Agora, vamos integrar 12 integral u^-1/3 , du = 12 cdot u^2/32/3 + C = 12 cdot 32 u^2/3 + C = 34 u^2/3 + C . A integral de é , onde C é a constante de integração. Aplicando isso:

Passo 5

Finalmente, substituímos u de volta para a expressão em termos de w:
34 u^2/3 + C = 34 (4 + w^2)^2/3 + C

Resposta

A primitiva da função é , onde C é a constante de integração.

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