Calcule as primitivas abaixo:
a. integral sen(theta)2+cos (theta) d theta.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos calcular a primitiva da função . Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente, técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observamos que o denominador pode ser útil para a substituição.

Passo 3

Vamos definir . Agora, precisamos encontrar a diferencial de , ou seja, .

Passo 4

Derivando dudtheta = -sin(theta) em relação a , temos:
Portanto, , ou equivalentemente, .

Passo 5

Substituindo na integral original:
integral sin(theta)2 + cos(theta) dtheta = integral -duu = -integral 1u du

Passo 6

A integral -integral 1u du = -ln|u| + C é conhecida e resulta no logaritmo natural de . Portanto:

Passo 7

Substituindo -ln|2 + cos(theta)| + C de volta na expressão:

Resposta

A primitiva é:
-ln(2 + cos(theta)) + C

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