Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular a primitiva da função . Isso envolve encontrar uma função cuja derivada seja . Para resolver esse tipo de integral, vamos usar a técnica de frações parciais, que é útil quando o denominador pode ser fatorado.
Passo 2
Vamos começar fatorando o denominador . Podemos fatorar um em comum:
Então, o denominador fatorado fica .
Passo 3
Agora, expressamos a fração inicial como soma de frações parciais. Queremos encontrar constantes e tais que:
No entanto, notamos que o numerador do segundo termo deve ter um grau menor que o denominador. Como o denominador é de segundo grau, o numerador será uma expressão de primeiro grau, por isso usamos .
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Simplificando o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado da equação:
Resolvendo o sistema:
De , temos .
Substituindo na primeira equação: ⇒ .
Já sabemos que .
Passo 6
Agora que temos os valores de 2w^2 + w - 4w(w^2 + 4) = -1w + 3w + 1w^2 + 4 , e , substituímos de volta nas frações parciais:
Passo 7
Agora, integramos cada termo separadamente:
integral -1w , dw + integral 3w + 1w^2 + 4 , dw
A primeira integral é direta:
integral -1w , dw = -ln|w|
Para a segunda integral, dividimos em duas partes:
integral 3ww^2 + 4 , dw + integral 1w^2 + 4 , dw
A primeira parte é uma substituição simples:
integral 3ww^2 + 4 , dw = 32 ln|w^2 + 4|
Para a segunda parte, reconhecemos a forma da integral que resulta em uma função arco-tangente:
integral 1w^2 + 4 , dw = 12 arctan(w2)
Passo 8
Juntando tudo, a primitiva fica:
-ln|w| + 32 ln|w^2 + 4| + 12 arctan(w2) + C
onde é a constante de integração.
Resposta
A primitiva da função -ln|w| + 32 ln|w^2 + 4| + 12 arctan(w2) + C é: