Calcule as primitivas abaixo:
f. .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular a primitiva da função . Isso envolve encontrar uma função cuja derivada seja . Para resolver esse tipo de integral, vamos usar a técnica de frações parciais, que é útil quando o denominador pode ser fatorado.

Passo 2

Vamos começar fatorando o denominador . Podemos fatorar um em comum:
Então, o denominador fatorado fica .

Passo 3

Agora, expressamos a fração inicial como soma de frações parciais. Queremos encontrar constantes e tais que:
No entanto, notamos que o numerador do segundo termo deve ter um grau menor que o denominador. Como o denominador é de segundo grau, o numerador será uma expressão de primeiro grau, por isso usamos .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Simplificando o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado da equação:
Resolvendo o sistema:
  1. De , temos .
  2. Substituindo na primeira equação: .
  3. Já sabemos que .

Passo 6

Agora que temos os valores de , e , substituímos de volta nas frações parciais:

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
A primeira integral é direta:
Para a segunda integral, dividimos em duas partes:
A primeira parte é uma substituição simples:
Para a segunda parte, reconhecemos a forma da integral que resulta em uma função arco-tangente:

Passo 8

Juntando tudo, a primitiva fica:
onde é a constante de integração.

Resposta

A primitiva da função é:

Exercícios relacionados

Calcule as primitivas abaixo:
a. .
Dada a equação será expressa por:
a)
b)
c)
d)
e)
Calcule as seguintes primitivas:
f. .
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
c. .