Calcule as primitivas abaixo:
f. integral 2 w^2+w-4w^3+4 w d w.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular a primitiva da função . Isso envolve encontrar uma função cuja derivada seja . Para resolver esse tipo de integral, vamos usar a técnica de frações parciais, que é útil quando o denominador pode ser fatorado.

Passo 2

Vamos começar fatorando o denominador w^3 + 4w = w(w^2 + 4) . Podemos fatorar um em comum:
Então, o denominador fatorado fica .

Passo 3

Agora, expressamos a fração inicial como soma de frações parciais. Queremos encontrar constantes 2w^2 + w - 4w(w^2 + 4) = Aw + Bw + Cw^2 + 4 e tais que:
No entanto, notamos que o numerador do segundo termo deve ter um grau menor que o denominador. Como o denominador é de segundo grau, o numerador será uma expressão de primeiro grau, por isso usamos .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por 2w^2 + w - 4 = A(w^2 + 4) + (Bw + C)w para eliminar os denominadores:
2w^2 + w - 4 = A w^2 + 4A + Bw^2 + Cw
Simplificando o lado direito:
2w^2 + w - 4 = (A + B)w^2 + Cw + 4A
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado da equação:
A + B = 2 C = 1 4A = -4
Resolvendo o sistema:
  1. De , temos .
  2. Substituindo na primeira equação: .
  3. Já sabemos que .

Passo 6

Agora que temos os valores de 2w^2 + w - 4w(w^2 + 4) = -1w + 3w + 1w^2 + 4 , e , substituímos de volta nas frações parciais:

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral -1w , dw + integral 3w + 1w^2 + 4 , dw
A primeira integral é direta:
integral -1w , dw = -ln|w|
Para a segunda integral, dividimos em duas partes:
integral 3ww^2 + 4 , dw + integral 1w^2 + 4 , dw
A primeira parte é uma substituição simples:
integral 3ww^2 + 4 , dw = 32 ln|w^2 + 4|
Para a segunda parte, reconhecemos a forma da integral que resulta em uma função arco-tangente:
integral 1w^2 + 4 , dw = 12 arctan(w2)

Passo 8

Juntando tudo, a primitiva fica:
-ln|w| + 32 ln|w^2 + 4| + 12 arctan(w2) + C
onde é a constante de integração.

Resposta

A primitiva da função -ln|w| + 32 ln|w^2 + 4| + 12 arctan(w2) + C é:

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