Calcule as seguintes primitivas:
f. integral sen(3 theta) cos (3 theta) d theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente trabalhando com integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar uma identidade trigonométrica que simplifica o produto de seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que transforma o produto de seno e cosseno em uma função mais fácil de integrar. A identidade é:
sin(a) cos(a) = 12 sin(2a)
Aqui, sin(3theta) cos(3theta) = 12 sin(6theta) é igual a , então substituindo na identidade:

Passo 3

Agora, substituímos essa identidade na integral original:
integral sin(3theta) cos(3theta) dtheta = integral 12 sin(6theta) dtheta
Essa simplificação facilita a integração, pois agora temos uma integral de uma função seno simples.

Passo 4

Vamos integrar integral 12 sin(6theta) dtheta = 12 integral sin(6theta) dtheta :
A integral de é , onde é uma constante.

Passo 5

Aplicando a regra da integral:
12 integral sin(6theta) dtheta = 12 ( -16 cos(6theta) ) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Simplificando os coeficientes:
-112 cos(6theta) + C

Resposta

A primitiva da função é:
-112 cos(6theta) + C

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