Calcule as primitivas abaixo:
a. integral 5-xx^2-x-2 d x.

Passo 1

Vamos calcular a integral . Esse exercício faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente utilizando a técnica de frações parciais para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, precisamos fatorar o denominador x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) . Para isso, buscamos dois números que multiplicados resultem em e que somados dê . Esses números são e . Então:

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração 5 - x(x - 2)(x + 1) = Ax - 2 + Bx + 1 como uma soma de frações parciais. Assumimos que:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 5 - x = A(x + 1) + B(x - 2) para eliminar as frações:

Passo 5

Expandimos os termos do lado direito:
5 - x = A x + A + B x - 2B
Agrupando os termos semelhantes:
5 - x = (A + B)x + (A - 2B)

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
A + B = -1 A - 2B = 5

Passo 7

Resolvemos o sistema de equações:
  1. Da primeira equação: (-1 - B) - 2B = 5 -1 - 3B = 5 -3B = 6 B = -2
  2. Substituindo na segunda equação:
A = -1 - (-2) = 1
  1. Substituindo na primeira equação:

Passo 8

Com os valores de 5 - xx^2 - x - 2 = 1x - 2 - 2x + 1 e , reescrevemos a fração original:

Passo 9

Finalmente, integramos cada termo separadamente:
integral 1x - 2 , dx - 2 integral 1x + 1 , dx = ln|x - 2| - 2ln|x + 1| + C

Resposta

A primitiva é .

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