Encontre uma função tal que e que satisfaça a condição .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar uma função que satisfaça a equação diferencial e que também atenda à condição . Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para isolar e depois integrar para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos isolar na equação dada. Começamos subtraindo de ambos os lados:

Passo 3

Agora, para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 4

Simplificamos a expressão no lado direito. Podemos dividir cada termo no numerador por :

Passo 5

Agora, para encontrar , integramos em relação a :

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que , onde é a constante de integração.
Primeiro termo:
Segundo termo:

Passo 7

Juntando os resultados das integrações, temos:

Passo 8

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante . Substituindo na expressão de :

Resposta

A função que satisfaz a equação dada e a condição inicial é:

Exercícios relacionados

Calcule as primitivas abaixo:
f. .
Nos problemas de 6-7, resolva a equação diferencial dada sujeita a condição inicial indicada.

Resp:
Seja uma função duas vezes derivável tal que é contínua. Sabendo que e , calcule:
c. .
Derive a função.