Encontre uma função g tal que raiz(t) * g'(t) + 2 * t = 1 e que satisfaça a condição g(1)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar uma função que satisfaça a equação diferencial e que também atenda à condição . Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para isolar e depois integrar para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos isolar na equação dada. Começamos subtraindo de ambos os lados:

Passo 3

Agora, para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 4

Simplificamos a expressão no lado direito. Podemos dividir cada termo no numerador por :

Passo 5

Agora, para encontrar , integramos em relação a :

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que , onde é a constante de integração.
Primeiro termo:
Segundo termo:

Passo 7

Juntando os resultados das integrações, temos:

Passo 8

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante . Substituindo na expressão de :

Resposta

A função que satisfaz a equação dada e a condição inicial é:

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