Encontre uma função
tal que
e que satisfaça a condição
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar uma função
que satisfaça a equação diferencial
e que também atenda à condição
. Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para isolar
e depois integrar para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
na equação dada. Começamos subtraindo
de ambos os lados:
Passo 3
Agora, para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 4
Simplificamos a expressão no lado direito. Podemos dividir cada termo no numerador por
:
Passo 5
Agora, para encontrar
, integramos
em relação a
:
Passo 6
Vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que
, onde
é a constante de integração.
Primeiro termo:
Segundo termo:
Passo 7
Juntando os resultados das integrações, temos:
Passo 8
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
na expressão de
:
Resposta
A função que satisfaz a equação dada e a condição inicial é:
Exercícios relacionados
Calcule as primitivas abaixo:
f. .
f.
Nos problemas de 6-7, resolva a equação diferencial dada sujeita a condição inicial indicada.
Resp:
Resp:
Seja
uma função duas vezes derivável tal que
é contínua. Sabendo que
e
, calcule:
c. .
c.
Derive a função.