Seja f: R R uma função duas vezes derivável tal que f^prime prime(x) é contínua. Sabendo que f(0)=2, f^prime(0)=0, f^prime prime(0)=-1, f(1)=2, f^prime(1)=1 e f^prime prime(1)=-1, calcule:
c. integral0^1 3 f^prime prime(x)-2 f^prime(x) d x.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função integral0^1 ( 3 f''(x) - 2 f'(x) ) dx que é duas vezes derivável com a segunda derivada contínua. Sabemos os valores de , , , , e . Precisas calcular a integral:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais de funções derivadas e propriedades básicas das integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral0^1 3 f''(x) dx - integral0^1 2 f'(x) dx

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral:
integral0^1 3 f''(x) dx
Como 3 é uma constante, podemos tirá-la da integral:
3 integral0^1 f''(x) dx
Sabemos que a integral de 3 [ f'(1) - f'(0) ] em relação a é . Assim:

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral0^1 2 f'(x) dx
Similarmente, 2 é uma constante e pode ser tirada da integral:
2 integral0^1 f'(x) dx
A integral de 2 [ f(1) - f(0) ] em relação a é . Então temos:

Passo 5

Agora, substituímos os valores conhecidos na expressão obtida:
3 [ f'(1) - f'(0) ] = 3 [ 1 - 0 ] = 3 times 1 = 3
2 [ f(1) - f(0) ] = 2 [ 2 - 2 ] = 2 times 0 = 0

Resposta

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