Calcule as primitivas abaixo:
e. integral tg(raizx)raizx d x.

Passo 1

Ok, a gente tem o exercício de calcular a primitiva de integral tg(raizx)raizx , dx. Isso está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando substituição para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos definir u = raizx. Assim, x = u^2 e, derivando ambos os lados, temos dx = 2u , du.

Passo 3

Agora, substituímos u e dx na integral original:
integral tg(u)u cdot 2u , du = 2 integral tg(u) , du
Note que o u no denominador e o u no numerador se cancelam, deixando a integral mais simples.

Passo 4

Agora precisamos calcular integral tg(u) , du. Sabemos que a integral da tangente é:
integral tg(u) , du = -ln|cos(u)| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Multiplicando o resultado da integral por 2, temos:
2 cdot ( -ln|cos(u)| ) + C = -2 ln|cos(u)| + C
Agora, voltamos à variável original substituindo u = raizx:
-2 ln|cos(raizx)| + C

Resposta

A primitiva é -2 ln|cos(raizx)| + C

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