Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
a) sumk=1^infty(23)^k+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente verificar se a série sumk=1^infty(23)^k+2 converge. Se sim, a gente também vai precisar descobrir a soma dela. Para isso, vamos usar o conteúdo de Séries Geométricas, que é fundamental para entender esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa série é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral sumk=0^infty ar^k, onde a é o primeiro termo e r é a razão da série. No nosso caso, a expressão está um pouquinho diferente: (23)^k+2.

Passo 3

Vamos reescrever a série para deixar mais claro. Podemos separar a potência:
(23)^k+2 = (23)^k cdot (23)^2 = (23)^k cdot 49
Então, a série fica:
sumk=1^infty 49 (23)^k
Aqui, vemos que a = 49 cdot (23)^1 = 49 cdot 23 = 827 e r = 23.

Passo 4

Para uma série geométrica convergir, a razão r precisa satisfazer a condição |r| < 1. No nosso caso, r = 23, que claramente atende a essa condição, já que |23| = 23 < 1. Portanto, a série converge.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, podemos calcular a soma usando a fórmula da soma de uma série geométrica:
S = a1 - r
Substituindo os valores que encontramos:
S = 8271 - 23 = 82713 = 827 times 3 = 2427 = 89

Resposta

A série converge e a sua soma é 89.

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