Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente verificar se a série converge. Se sim, a gente também vai precisar descobrir a soma dela. Para isso, vamos usar o conteúdo de Séries Geométricas, que é fundamental para entender esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa série é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão da série. No nosso caso, a expressão está um pouquinho diferente: .

Passo 3

Vamos reescrever a série para deixar mais claro. Podemos separar a potência:
Então, a série fica:
Aqui, vemos que e .

Passo 4

Para uma série geométrica convergir, a razão precisa satisfazer a condição . No nosso caso, , que claramente atende a essa condição, já que . Portanto, a série converge.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, podemos calcular a soma usando a fórmula da soma de uma série geométrica:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A série converge e a sua soma é .

Exercícios relacionados

Determine .
Ajuste os expoentes e, fazendo uso da Regra do Tombo, calcule a derivada das seguintes funções:
b)
Ajuste os expoentes e, fazendo uso da Regra do Tombo, calcule a derivada das seguintes funções:
c)
Calcule as primitivas abaixo:
e. .