Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente verificar se a série converge. Se sim, a gente também vai precisar descobrir a soma dela. Para isso, vamos usar o conteúdo de Séries Geométricas, que é fundamental para entender esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa série é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão da série. No nosso caso, a expressão está um pouquinho diferente: .
Passo 3
Vamos reescrever a série para deixar mais claro. Podemos separar a potência:
Então, a série fica:
Aqui, vemos que e .
Passo 4
Para uma série geométrica convergir, a razão precisa satisfazer a condição . No nosso caso, , que claramente atende a essa condição, já que . Portanto, a série converge.
Passo 5
Agora que sabemos que a série converge, podemos calcular a soma usando a fórmula da soma de uma série geométrica: