Determine o volume do sólido que está sob o paraboloide elíptico x^2 / 4 + y^2 / 9 = 1 e acima do retângulo [-1, 1] x [-2, 2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um problema de cálculo de volume, mais especificamente usando integrais duplas. A gente precisa encontrar o volume do sólido que está por baixo de um paraboloide elíptico dado pela equação e por cima de um retângulo definido pelas coordenadas . Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas para calcular esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a equação do paraboloide. A equação representa uma superfície paraboloide elíptica. Na verdade, para calcular o volume, precisamos expressar em função de e . Então, isolando , temos:
Esse nos dá a altura do paraboloide sobre cada ponto no plano.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla para encontrar o volume. O volume pode ser encontrado integrando sobre a região do retângulo :
Onde é o retângulo mencionado.

Passo 4

Vamos primeiro integrar em relação a , mantendo constante. Os limites de vão de -2 a 2:
Calculando cada parte:
Então, a integral em relação a resulta em:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a , com os limites de -1 a 1:
Calculando cada parte:
Somando as duas partes:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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