Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto dado por . Dica: Encontre a variação para e lembre-se da definç̧ão de área para integrais duplas. A resposta é .

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos calcular a área do conjunto definido por:
Estamos utilizando integrais duplas para encontrar essa área. Para resolver isso, precisamos determinar os limites de integração para e e, em seguida, integrar a função que descreve a área sobre essa região.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de onde as duas curvas e se encontram. Para isso, igualamos as duas expressões:
Para resolver essa equação, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, trazemos todos os termos para o lado esquerdo:
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, os valores de variam de 0 a 1.

Passo 3

Com os limites de definidos, sabemos que varia de 0 a 1:
Para cada valor de dentro desse intervalo, varia de até :
Isso nos dá os limites de integração para em termos de .

Passo 4

A definição da área usando integrais duplas é dada por:
Á
Substituindo os limites que encontramos:
Á
Como estamos calculando a área, a função a ser integrada é simplesmente 1.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
Á

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Calculando cada integral separadamente:
Para :
Para :

Passo 7

Subtraindo os resultados das integrais:
Á

Resposta

A área do conjunto é .

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