Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto dado por . Dica: Encontre a variação para e lembre-se da definç̧ão de área para integrais duplas. A resposta é .
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos calcular a área do conjunto definido por:
Estamos utilizando integrais duplas para encontrar essa área. Para resolver isso, precisamos determinar os limites de integração para e e, em seguida, integrar a função que descreve a área sobre essa região.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de onde as duas curvas e se encontram. Para isso, igualamos as duas expressões:
Para resolver essa equação, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, trazemos todos os termos para o lado esquerdo:
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, os valores de variam de 0 a 1.
Passo 3
Com os limites de definidos, sabemos que varia de 0 a 1:
Para cada valor de dentro desse intervalo, varia de até :
Isso nos dá os limites de integração para em termos de .
Passo 4
A definição da área usando integrais duplas é dada por:
Substituindo os limites que encontramos:
Como estamos calculando a área, a função a ser integrada é simplesmente 1.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Agora, substituímos essa expressão na integral externa: