Determine o polinômio de Taylor de f de ordem n em torno de x_0 nos seguintes casos:
a) f(x) = ln(x), x0 = 1, n = 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o polinômio de Taylor de ordem 3 para a função , centrado em . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente série de Taylor. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função até a terceira ordem e avaliar essas derivadas em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. Ele é uma aproximação polinomial de uma função em torno de um ponto específico, que nesse caso é . A fórmula geral para o polinômio de Taylor de ordem é:
Como precisamos de ordem 3, vamos calcular até a terceira derivada de .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e avaliar em :
  1. Primeira derivada:
    • Avaliando em :
  2. Segunda derivada:
    • Avaliando em :
  3. Terceira derivada:
    • Avaliando em :

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:
Sabendo que , a expressão fica:
Simplificando:

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 3 para em torno de é:

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