Determine o polinômio de Taylor de
de ordem
em torno de
nos seguintes casos:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o polinômio de Taylor de ordem 3 para a função
, centrado em
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente série de Taylor. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função até a terceira ordem e avaliar essas derivadas em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. Ele é uma aproximação polinomial de uma função em torno de um ponto específico, que nesse caso é
. A fórmula geral para o polinômio de Taylor de ordem
é:
Como precisamos de ordem 3, vamos calcular até a terceira derivada de
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e avaliar em
:
-
Primeira derivada:
- Avaliando em
:
- Avaliando em
-
Segunda derivada:
- Avaliando em
:
- Avaliando em
-
Terceira derivada:
- Avaliando em
:
- Avaliando em
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:
Sabendo que
, a expressão fica:
Simplificando:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 3 para
em torno de
é:
Exercícios relacionados
Calcule as primitivas abaixo:
e. .
e.
Calcule as seguintes primitivas:
d. .
d.
Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto
dado por
. Dica: Encontre a variação para
e lembre-se da definç̧ão de área para integrais duplas. A resposta é
.
Determine o polinômio de Taylor de
de ordem
em torno de
nos seguintes casos:
c)
c)