Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a primitiva (ou integral indefinida) da função em relação a . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de integração como a substituição de variável. Vamos precisar entender como transformar a integral para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da substituição. Sabemos que é o mesmo que . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos usar a técnica de substituição de variável. Vamos definir uma nova variável para simplificar a expressão dentro da integral. Escolhemos:

Passo 4

Precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir o na integral. Derivando ambos os lados:

Passo 5

Substituindo e na integral original, temos:

Passo 6

Agora, vamos integrar . A integral de é , onde é a constante de integração. Aplicando isso:

Passo 7

Multiplicando pelo coeficiente que tiramos antes:

Passo 8

Agora, voltamos à variável original substituindo :

Passo 9

Para verificar se a primitiva está correta, vamos derivar a expressão encontrada e ver se recuperamos a função original. Derivando :
Como obtivemos a função original, a primitiva está correta.

Resposta

A primitiva da função é:

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Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.
Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.