Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a primitiva (ou integral indefinida) da função
em relação a
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de integração como a substituição de variável. Vamos precisar entender como transformar a integral para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que facilite a aplicação da substituição. Sabemos que
é o mesmo que
. Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos usar a técnica de substituição de variável. Vamos definir uma nova variável
para simplificar a expressão dentro da integral. Escolhemos:
Passo 4
Precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir o
na integral. Derivando ambos os lados:
Passo 5
Substituindo
e
na integral original, temos:
Passo 6
Agora, vamos integrar
. A integral de
é
, onde
é a constante de integração. Aplicando isso:
Passo 7
Multiplicando pelo coeficiente que tiramos antes:
Passo 8
Agora, voltamos à variável original
substituindo
:
Passo 9
Para verificar se a primitiva está correta, vamos derivar a expressão encontrada e ver se recuperamos a função original. Derivando
:
Como obtivemos a função original, a primitiva está correta.
Resposta
A primitiva da função
é:
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Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.
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