Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.
integral raiz[3]6-2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a primitiva (ou integral indefinida) da função em relação a . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de integração como a substituição de variável. Vamos precisar entender como transformar a integral para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função integral (6 - 2x)^1/3 , dx de uma forma que facilite a aplicação da substituição. Sabemos que é o mesmo que . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos usar a técnica de substituição de variável. Vamos definir uma nova variável u = 6 - 2x para simplificar a expressão dentro da integral. Escolhemos:

Passo 4

Precisamos encontrar a derivada de dudx = -2 Rightarrow dx = du-2 em relação a para substituir o na integral. Derivando ambos os lados:

Passo 5

Substituindo integral u^1/3 cdot du-2 = -12 integral u^1/3 , du e na integral original, temos:

Passo 6

Agora, vamos integrar integral u^1/3 , du = u^4/34/3 = 34 u^4/3 . A integral de é , onde é a constante de integração. Aplicando isso:

Passo 7

Multiplicando pelo coeficiente que tiramos antes:
-12 cdot 34 u^4/3 = -38 u^4/3

Passo 8

Agora, voltamos à variável original -38 (6 - 2x)^4/3 + C substituindo :

Passo 9

Para verificar se a primitiva está correta, vamos derivar a expressão encontrada e ver se recuperamos a função original. Derivando ddx ( -38 (6 - 2x)^4/3 ) = -38 cdot 43 (6 - 2x)^1/3 cdot (-2) = raiz[3]6 - 2x :
Como obtivemos a função original, a primitiva está correta.

Resposta

A primitiva da função -38 (6 - 2x)^4/3 + C é:

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