Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral que precisa achar a primitiva, ou seja, a função cuja derivada dá o que está dentro da integral. A função que vamos integrar é:
Para resolver isso, a gente vai usar uma técnica chamada substituição de variável, que ajuda a simplificar integrais complicadas. Vamos ver como fazer isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual parte da função pode ser substituída por uma nova variável para deixar a integral mais simples. Olhando para a fração, percebemos que o denominador é
. Vamos então definir:
Essa substituição vai nos ajudar a simplificar a integral.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Isso significa que:
Queremos expressar
em termos de
, então rearranjando a equação acima, temos:
Passo 4
Substituímos agora
e
na integral original:
Passo 5
Vamos integrar
em relação a
:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Agora, lembrando que
, substituímos novamente:
Resposta
A primitiva da função é:
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Use o cálculo para encontrar a área do triângulo com os vértices dados.
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