Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral que precisa achar a primitiva, ou seja, a função cuja derivada dá o que está dentro da integral. A função que vamos integrar é:
Para resolver isso, a gente vai usar uma técnica chamada substituição de variável, que ajuda a simplificar integrais complicadas. Vamos ver como fazer isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da função pode ser substituída por uma nova variável para deixar a integral mais simples. Olhando para a fração, percebemos que o denominador é . Vamos então definir:
Essa substituição vai nos ajudar a simplificar a integral.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Isso significa que:
Queremos expressar em termos de , então rearranjando a equação acima, temos:

Passo 4

Substituímos agora e na integral original:

Passo 5

Vamos integrar em relação a :
Substituindo de volta na expressão anterior:
Agora, lembrando que , substituímos novamente:

Resposta

A primitiva da função é:

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Use o cálculo para encontrar a área do triângulo com os vértices dados.
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