Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a primitiva da função . Isso envolve integração, especificamente usando técnicas de substituição para facilitar o cálculo. Vamos precisar lembrar das regras de substituição em integrais e de como diferenciar funções para verificar nossa resposta.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Observe o denominador . Vamos escolher .
Por que essa substituição? Porque ao substituir, simplificamos a expressão e facilitamos a integração.

Passo 3

Com , vamos derivar em relação a para encontrar :
Além disso, precisamos expressar em termos de :

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original:
Vamos simplificar isso:

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:
Agora, substituímos :

Passo 7

Simplificando a expressão final:

Resposta

A primitiva da função é:

Verificação

Vamos verificar diferenciando a primitiva encontrada:
Derivando termo a termo:
Isso confirma que nossa primitiva está correta.

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