Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.
integral 2 r d r(1-r)^2 / 3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a primitiva da função . Isso envolve integração, especificamente usando técnicas de substituição para facilitar o cálculo. Vamos precisar lembrar das regras de substituição em integrais e de como diferenciar funções para verificar nossa resposta.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Observe o denominador . Vamos escolher .
Por que essa substituição? Porque ao substituir, simplificamos a expressão e facilitamos a integração.

Passo 3

Com du = -dr Rightarrow dr = -du , vamos derivar em relação a r = 1 - u para encontrar :
Além disso, precisamos expressar em termos de :

Passo 4

Agora, substituímos integral 2r(1 - r)^2/3 dr = integral 2(1 - u)u^2/3 (-du) e -2 integral 1 - uu^2/3 du = -2 integral ( u^-2/3 - u^1 - 2/3 ) du = -2 integral ( u^-2/3 - u^1/3 ) du na integral original:
Vamos simplificar isso:

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
-2 ( integral u^-2/3 du - integral u^1/3 du )
Integrando:
integral u^-2/3 du = u^1 - 2/31 - 2/3 = u^1/31/3 = 3u^1/3
integral u^1/3 du = u^1 + 1/31 + 1/3 = u^4/34/3 = 34u^4/3

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:
-2 ( 3u^1/3 - 34u^4/3 ) = -6u^1/3 + 32u^4/3
Agora, substituímos -6(1 - r)^1/3 + 32(1 - r)^4/3 + C :

Passo 7

Simplificando a expressão final:
integral 2r(1 - r)^2/3 dr = -6(1 - r)^1/3 + 32(1 - r)^4/3 + C

Resposta

A primitiva da função é:
-6(1 - r)^1/3 + 32(1 - r)^4/3 + C

Verificação

Vamos verificar diferenciando a primitiva encontrada:
ddr [ -6(1 - r)^1/3 + 32(1 - r)^4/3 + C ]
Derivando termo a termo:
-6 cdot 13(1 - r)^-2/3(-1) + 32 cdot 43(1 - r)^1/3(-1) = 2r(1 - r)^2/3
Isso confirma que nossa primitiva está correta.

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