Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a primitiva da função
. Isso envolve integração, especificamente usando técnicas de substituição para facilitar o cálculo. Vamos precisar lembrar das regras de substituição em integrais e de como diferenciar funções para verificar nossa resposta.
Passo 2
Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Observe o denominador
. Vamos escolher
.
Por que essa substituição? Porque ao substituir, simplificamos a expressão e facilitamos a integração.
Passo 3
Com
, vamos derivar em relação a
para encontrar
:
Além disso, precisamos expressar
em termos de
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Vamos simplificar isso:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão:
Agora, substituímos
:
Passo 7
Simplificando a expressão final:
Resposta
A primitiva da função é:
Verificação
Vamos verificar diferenciando a primitiva encontrada:
Derivando termo a termo:
Isso confirma que nossa primitiva está correta.
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