Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.

Passo 1

Aqui temos um exercício de cálculo integral onde precisamos encontrar as primitivas da função dada. Vamos usar técnicas de substituição (mudança de variável) para resolver a integral e, em seguida, verificar nossa resposta diferenciando-a. Vamos precisar lembrar como realizar substituições em integrais e como trabalhar com potências de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a integral que queremos resolver:
Nosso objetivo é simplificar essa expressão para facilitar a resolução.

Passo 3

Vamos simplificar a fração dentro da integral:
Isso porque dividimos cada termo do numerador pelo denominador:
Assim, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Essa substituição é útil porque a expressão aparece elevada à potência na integral.

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir :
Isso implica que:
Observamos que o fator está presente na nossa integral original.

Passo 6

Com a substituição feita, podemos reescrever a integral em termos de :
Agora, a integral está muito mais simples e depende apenas de .

Passo 7

Agora, resolvemos a integral . Usamos a regra de integração para potências:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Aplicando a regra com :

Passo 9

Finalmente, substituímos de volta para expressar a primitiva em termos de :

Resposta

A primitiva da função é:

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