Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.
Passo 1
Aqui temos um exercício de cálculo integral onde precisamos encontrar as primitivas da função dada. Vamos usar técnicas de substituição (mudança de variável) para resolver a integral e, em seguida, verificar nossa resposta diferenciando-a. Vamos precisar lembrar como realizar substituições em integrais e como trabalhar com potências de expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a integral que queremos resolver:
Nosso objetivo é simplificar essa expressão para facilitar a resolução.
Passo 3
Vamos simplificar a fração dentro da integral:
Isso porque dividimos cada termo do numerador pelo denominador:
Assim, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Essa substituição é útil porque a expressão
aparece elevada à potência
na integral.
Passo 5
Em seguida, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
:
Isso implica que:
Observamos que o fator
está presente na nossa integral original.
Passo 6
Com a substituição feita, podemos reescrever a integral em termos de
:
Agora, a integral está muito mais simples e depende apenas de
.
Passo 7
Agora, resolvemos a integral
. Usamos a regra de integração para potências:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Aplicando a regra com
:
Passo 9
Finalmente, substituímos
de volta para expressar a primitiva em termos de
:
Resposta
A primitiva da função é:
Exercícios relacionados
Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.
Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.
Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.
Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.