Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.
integral(t+1t)^3 / 2(t^2-1t^2) d t

Passo 1

Aqui temos um exercício de cálculo integral onde precisamos encontrar as primitivas da função dada. Vamos usar técnicas de substituição (mudança de variável) para resolver a integral e, em seguida, verificar nossa resposta diferenciando-a. Vamos precisar lembrar como realizar substituições em integrais e como trabalhar com potências de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a integral que queremos resolver:
integral (t + 1t)^32 (t^2 - 1t^2) dt
Nosso objetivo é simplificar essa expressão para facilitar a resolução.

Passo 3

Vamos simplificar a fração dentro da integral:
t^2 - 1t^2 = 1 - 1t^2
Isso porque dividimos cada termo do numerador pelo denominador:
t^2t^2 - 1t^2 = 1 - 1t^2
Assim, a integral fica:
integral (t + 1t)^32 (1 - 1t^2) dt

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = t + 1t
Essa substituição é útil porque a expressão aparece elevada à potência na integral.

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar a derivada de dudt = 1 - 1t^2 em relação a du = (1 - 1t^2) dt para substituir :
Isso implica que:
Observamos que o fator está presente na nossa integral original.

Passo 6

Com a substituição feita, podemos reescrever a integral em termos de integral (t + 1t)^32 (1 - 1t^2) dt = integral u^32 du :
Agora, a integral está muito mais simples e depende apenas de .

Passo 7

Agora, resolvemos a integral integral u^n du = u^n+1n+1 + C . Usamos a regra de integração para potências:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Aplicando a regra com integral u^32 du = u^5252 + C = 25 u^52 + C :

Passo 9

Finalmente, substituímos 25 (t + 1t)^52 + C de volta para expressar a primitiva em termos de :

Resposta

A primitiva da função é:
25 (t + 1t)^52 + C

Exercícios relacionados