Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.
integral x^2 raizx^3-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de primitivas, usando substituição de variáveis para simplificar a integral. Vamos precisar aplicar a técnica de substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Observando , uma boa escolha é deixar .

Passo 3

Com du = 3x^2 , dx , vamos calcular . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Agora, resolvemos para x^2 , dx = du3 :

Passo 5

Substituímos integral x^2 raizx^3-1 , dx = integral raizu cdot du3 = 13 integral u^1/2 , du e na integral original:

Passo 6

Agora, integramos 13 integral u^1/2 , du = 13 cdot u^3/23/2 + C = 29 u^3/2 + C :

Passo 7

Finalmente, retornamos à variável original 29 (x^3 - 1)^3/2 + C substituindo :

Resposta

A primitiva de 29 (x^3 - 1)^3/2 + C ��:
ddx ( 29 (x^3 - 1)^3/2 ) = 29 cdot 32 (x^3 - 1)^1/2 cdot 3x^2 = x^2 raizx^3 - 1

Verificação

Para conferir, vamos derivar :
Está correto!

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