Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa encontrar as primitivas da função dada, ou seja, calcular a integral indefinida:
Para isso, vamos usar técnicas de integração, possivelmente fazendo mudanças de variável (substituições) para simplificar a expressão. Vamos precisar aplicar a regra de substituição e entender um pouco sobre derivadas para verificar nossa resposta no final.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que estamos integrando:
Perceba que o numerador tem
e o denominador é
. Vamos tentar fazer uma substituição que simplifique essa expressão.
Passo 3
Vamos definir uma nova variável
para simplificar a integral. Observando o denominador, vamos tentar usar:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
:
Podemos simplificar isso:
Então,
Passo 4
Agora, vamos reorganizar a expressão para
para se adequar à nossa integral original:
Substituindo na integral original:
Passo 5
Agora, vamos integrar
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, vamos substituir
de volta em termos de
:
Resposta
A primitiva da função é:
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