Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa encontrar as primitivas da função dada, ou seja, calcular a integral indefinida:
Para isso, vamos usar técnicas de integração, possivelmente fazendo mudanças de variável (substituições) para simplificar a expressão. Vamos precisar aplicar a regra de substituição e entender um pouco sobre derivadas para verificar nossa resposta no final.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que estamos integrando:
Perceba que o numerador tem e o denominador é . Vamos tentar fazer uma substituição que simplifique essa expressão.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável para simplificar a integral. Observando o denominador, vamos tentar usar:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é :
Podemos simplificar isso:
Então,

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a expressão para para se adequar à nossa integral original:
Substituindo na integral original:

Passo 5

Agora, vamos integrar :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, vamos substituir de volta em termos de :

Resposta

A primitiva da função é:

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