Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.
integral x(3 x^2+1) d x(3 x^4+2 x^2+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa encontrar as primitivas da função dada, ou seja, calcular a integral indefinida:
integral x(3 x^2+1) , dx(3 x^4+2 x^2+1)^2
Para isso, vamos usar técnicas de integração, possivelmente fazendo mudanças de variável (substituições) para simplificar a expressão. Vamos precisar aplicar a regra de substituição e entender um pouco sobre derivadas para verificar nossa resposta no final.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que estamos integrando:
x(3 x^2+1)(3 x^4+2 x^2+1)^2
Perceba que o numerador tem e o denominador é . Vamos tentar fazer uma substituição que simplifique essa expressão.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável u = 3x^4 + 2x^2 + 1 para simplificar a integral. Observando o denominador, vamos tentar usar:
dudx = 12x^3 + 4x
Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 4x(3x^2 + 1) em relação a du = 4x(3x^2 + 1) , dx , que é :
Podemos simplificar isso:
Então,

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a expressão para x(3x^2 + 1) , dx = 14 du para se adequar à nossa integral original:
integral x(3x^2 + 1) , dx(3x^4 + 2x^2 + 1)^2 = integral 14 duu^2 = 14 integral u^-2 , du
Substituindo na integral original:

Passo 5

Agora, vamos integrar 14 integral u^-2 , du = 14 ( -u^-1 ) + C = -14u + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, vamos substituir -14u + C = -14(3x^4 + 2x^2 + 1) + C de volta em termos de :

Resposta

A primitiva da função é:
-14(3x^4+2x^2+1) + C

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