Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a primitiva de
. Esse problema está na área de cálculo integral, especificamente envolvendo integrais que requerem substituição (mudança de variável). Para resolver, vamos precisar entender como fazer substituições que simplifiquem a integral e depois verificar nossa resposta diferenciando o resultado final.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição. Vamos deixar
. Isso significa que
e, como queremos expressar tudo em termos de
, precisamos também reescrever
em função de
. Como
, então
.
Passo 3
Agora, substituímos
e
na integral original:
Isso pode ser separado em duas integrais:
Passo 4
Simplificamos cada termo:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, integramos cada termo usando a regra de potência para integrais:
Aplicando:
Relembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A primitiva da função é
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