Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a primitiva de . Esse problema está na área de cálculo integral, especificamente envolvendo integrais que requerem substituição (mudança de variável). Para resolver, vamos precisar entender como fazer substituições que simplifiquem a integral e depois verificar nossa resposta diferenciando o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição. Vamos deixar . Isso significa que e, como queremos expressar tudo em termos de , precisamos também reescrever em função de . Como , então .

Passo 3

Agora, substituímos e na integral original:
Isso pode ser separado em duas integrais:

Passo 4

Simplificamos cada termo:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, integramos cada termo usando a regra de potência para integrais:
Aplicando:
Relembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A primitiva da função é

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