Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.
integral x d xraiz[3]x^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a primitiva da função . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente à integração por substituição de variáveis. Para resolver, vamos precisar identificar uma substituição que simplifique a integral e aplicar as regras de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que, se substituída, torne a integral mais simples. Observamos que temos dentro da raiz cúbica. Vamos tentar fazer uma substituição onde . Dessa forma, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir .

Passo 3

Calculando a derivada de du = ddx(x^2 + 1) , dx = 2x , dx :
x , dx = du2
Agora, resolvemos para :
Isso nos ajuda a substituir na integral original.

Passo 4

Substituindo integral x , dxraiz[3]x^2+1 = integral du2u^1/3 = 12 integral u^-1/3 , du e na integral:
Agora, a integral está em termos de , o que facilita a resolução.

Passo 5

Integrando integral u^-1/3 , du = u^2/32/3 + C = 32 u^2/3 + C :
12 cdot 32 u^2/3 = 34 u^2/3
Multiplicando pelo que ficava na frente:

Passo 6

Voltando à variável original 34 (x^2 + 1)^2/3 + C , já que :
Prontinho! Essa é a primitiva da função dada.

Resposta

A primitiva da função é:
34 ( x^2 + 1 )^2/3 + C

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