Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a primitiva da função
. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente à integração por substituição de variáveis. Para resolver, vamos precisar identificar uma substituição que simplifique a integral e aplicar as regras de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que, se substituída, torne a integral mais simples. Observamos que temos
dentro da raiz cúbica. Vamos tentar fazer uma substituição onde
. Dessa forma, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
.
Passo 3
Calculando a derivada de
:
Agora, resolvemos para
:
Isso nos ajuda a substituir na integral original.
Passo 4
Substituindo
e
na integral:
Agora, a integral está em termos de
, o que facilita a resolução.
Passo 5
Integrando
:
Multiplicando pelo
que ficava na frente:
Passo 6
Voltando à variável original
, já que
:
Prontinho! Essa é a primitiva da função dada.
Resposta
A primitiva da função é:
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