Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A questão pede para calcularmos a primitiva (ou antiderivada) da função
em relação a
. Para isso, vamos usar técnicas de integração, como a mudança de variável (substituição). Também vamos verificar nosso resultado diferenciando a primitiva encontrada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar a integração. Sabemos que
, então podemos reescrever a integral assim:
Passo 3
Agora, para simplificar a fração, vamos dividir o numerador pelo denominador. Isso significa que cada termo do numerador será dividido por
. Mas antes disso, vamos expandir o numerador usando o binômio de Newton.
A expansão de
é:
Simplificando os expoentes:
Passo 4
Agora, dividimos cada termo da expansão por
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada termo individualmente. Lembrando que a integral de
é
, desde que
.
Passo 6
Agora, somamos todas as integrais encontradas:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Por fim, vamos verificar nossa resposta diferenciando a primitiva encontrada. A derivada de
é
, de
é
, de
é
, de
é
, e de
é
. Somando todos esses termos, recuperamos a função original dentro da integral, confirmando que nossa primitiva está correta.
Resposta
A primitiva da função é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.
Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.
Calcule as primitivas das seguintes funções. Verifique cada resultado usando difrenciação.
Calcule as primitivas das seguintes funções. Verifique cada resultado usando difrenciação.