Calcule pelo processo de triangularização |cccc-2 & -3 & -1 & -2 -1 & 0 & 1 & -2 -3 & -1 & -4 & 1 -2 & 2 & -3 & -1|

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante dessa matriz 4x4 usando o processo de triangularização. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que tem várias propriedades importantes na matemática. Para triangularizar, vamos transformar a matriz em uma forma triangular (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero) usando operações elementares de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz original:
-2 & -3 & -1 & -2 -1 & 0 & 1 & -2 -3 & -1 & -4 & 1 -2 & 2 & -3 & -1
Nosso objetivo é zerar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (-2). Para isso, vamos usar operações de linha.

Passo 3

Vamos zerar o elemento da segunda linha, primeira coluna (-1). Para isso, multiplicamos a primeira linha por L2 = L2 + 12L1 e adicionamos à segunda linha:
-1 + 12(-2) = -1 + (-1) = -2 (Esperado zero, ajustamos a operação)
Calculando:
L2 = L2 - ( -1-2 )L1 = L2 - ( 12 )L1 çã
Na verdade, para zerar, precisamos ajustar a operação:
-2 & -3 & -1 & -2 0 & 32 & 12 & -1 -3 & -1 & -4 & 1 -2 & 2 & -3 & -1
Então:

Passo 4

Agora, vamos zerar o elemento da terceira linha, primeira coluna (-3). Usamos a primeira linha multiplicada por L3 = L3 + 32L1 e adicionamos à terceira linha:
-3 + 32(-2) = -3 + (-3) = -6 + 3 = -3 (Deve ser zero, ajustamos a operação)
Calculando:
L3 = L3 - ( -3-2 )L1 = L3 - ( 32 )L1 çã
Na verdade, para zerar:
-2 & -3 & -1 & -2 0 & 32 & 12 & -1 0 & 72 & -52 & 4 -2 & 2 & -3 & -1
Então:

Passo 5

Agora, zeramos o elemento da quarta linha, primeira coluna (-2). Usamos a primeira linha multiplicada por L4 = L4 + L1 e adicionamos à quarta linha:
-2 + (-2) = -4 (Deve ser zero, ajustamos a operação)
Calculando:
L4 = L4 - ( -2-2 )L1 = L4 - L1 çã
Na verdade, para zerar:
-2 & -3 & -1 & -2 0 & 32 & 12 & -1 0 & 72 & -52 & 4 0 & 5 & -4 & 1
Então:

Passo 6

Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna. Nosso próximo passo é zerar os elementos abaixo da segunda posição da segunda coluna ( L3 = L3 - 73L2 ).
Primeiro, vamos zerar o elemento da terceira linha, segunda coluna ( 72 - 73 cdot 32 = 72 - 72 = 0 ). Para isso, multiplicamos a segunda linha por -52 - 73 cdot 12 = -52 - 76 = -156 - 76 = -226 = -113 e subtraímos da terceira linha:
4 - 73 cdot (-1) = 4 + 73 = 123 + 73 = 193
Calculando:
0 & 0 & -113 & 193
E para o restante da linha:
Então, a terceira linha fica:

Passo 7

Agora, vamos zerar o elemento da quarta linha, segunda coluna (5). Usamos a segunda linha multiplicada por L4 = L4 - 103L2 e subtraímos da quarta linha:
5 - 103 cdot 32 = 5 - 5 = 0
Calculando:
-4 - 103 cdot 12 = -4 - 53 = -123 - 53 = -173
Para o restante da linha:
1 - 103 cdot (-1) = 1 + 103 = 33 + 103 = 133
0 & 0 & -173 & 133
Então, a quarta linha fica:

Passo 8

Agora, nossa matriz está triangularizada:
-2 & -3 & -1 & -2 0 & 32 & 12 & -1 0 & 0 & -113 & 193 0 & 0 & -173 & 133
Para encontrar o determinante, multiplicamos os elementos da diagonal principal:
Determinante = (-2) times 32 times (-113) times 133

Passo 9

Calculando passo a passo:
-2 times 32 = -3
-3 times (-113) = 11
11 times 133 = 1433

Resposta

O determinante da matriz é .

Exercícios relacionados

Considere as matrizes
A=[cc 2 & 3 -5 & 9 ], B=[cc 4 & -5 3 & 1 ] e C==[cc 6 & 2 7 & -8 ]
Calcular 6 B.
Considere a matriz
A=[lll 2 & 2 & 2 0 & 2 & 0 0 & 1 & 3 ]
b) Para cada valor de lambda encontrados no item anterior determinar todas as matrizes solução X=[lx y z] tais que A X=lambda X.
Verdadeiro V ou falso F, justifique sua resposta.
c) ( Se A é uma matriz anti-simétrica então A é inversível.
Verdadeiro V ou falso F, justifique sua resposta.
d) ( ) Se A^-1 A^T=I então a matriz A é simétrica