Verdadeiro ou falso , justifique sua resposta.
c) ( Se A é uma matriz anti-simétrica então A é inversível.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado diz: “Se A é uma matriz anti-simétrica então A é inversível.” O conteúdo aqui envolve matrizes anti-simétricas e o conceito de uma matriz ser inversível. Para resolver, precisamos entender o que é uma matriz anti-simétrica e quais são as condições para uma matriz ser inversível.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz anti-simétrica. Uma matriz é chamada de anti-simétrica se ela satisfaz a condição:
Isso significa que a transposta da matriz é igual ao seu negativo.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre matrizes inversíveis. Uma matriz é inversível (ou não singular) se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade. Uma condição importante para isso é que o determinante de seja diferente de zero:
Passo 4
Então, a pergunta é: toda matriz anti-simétrica tem determinante diferente de zero, ou seja, é inversível? Vamos analisar.
Passo 5
Sabemos que matrizes anti-simétricas de ordem ímpar (ou seja, com número ímpar de linhas e colunas) sempre têm determinante igual a zero:
Isso ocorre porque, para matrizes de ordem ímpar, a condição implica que , forçando .
Passo 6
Portanto, matrizes anti-simétricas de ordem ímpar não são inversíveis. Como a afirmação “se A é uma matriz anti-simétrica então A é inversível” não é verdadeira para todas as matrizes anti-simétricas (especificamente, falha para as de ordem ímpar), ela é falsa.
Resposta
Falso. Nem toda matriz anti-simétrica é inversível.