Considere a matriz
A=[lll 2 & 2 & 2 0 & 2 & 0 0 & 1 & 3 ]
b) Para cada valor de lambda encontrados no item anterior determinar todas as matrizes solução X=[lx y z] tais que A X=lambda X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e já descobriu alguns valores de (que são os autovalores). Agora, o que a gente precisa fazer é encontrar todos os vetores que, quando multiplicados pela matriz , resultam em . Ou seja, queremos resolver a equação . Para isso, vamos trabalhar com autovalores e autovetores da matriz, usando conceitos de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são os autovalores da matriz . Esses autovalores são os valores que satisfazem a equação característica de , que geralmente encontramos resolvendo o determinante . Porém, como já identificamos os valores de no item anterior, vamos considerar que eles são , e .

Passo 3

Agora, para cada x y z encontrado, vamos determinar os vetores que satisfazem . Isso significa que vamos resolver o sistema linear para cada .

Passo 4

Vamos começar com A - 1I = 2-1 & 2 & 2 0 & 2-1 & 0 0 & 1 & 3-1 = 1 & 2 & 2 0 & 1 & 0 0 & 1 & 2 :
Montamos a matriz x + 2y + 2z = 0 y = 0 y + 2z = 0 :
0 0 0
Agora, resolvemos o sistema :
Da segunda equação . Substituindo na terceira equação: . E na primeira equação: .
Portanto, a única solução é . Isso significa que não possui autovetor não nulo, o que indica que esse autovalor tem multiplicidade algébrica maior que sua multiplicidade geométrica.

Passo 5

Agora, vamos para A - 2I = 2-2 & 2 & 2 0 & 2-2 & 0 0 & 1 & 3-2 = 0 & 2 & 2 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1 :
Montamos a matriz 0x + 2y + 2z = 0 0 = 0 0x + y + z = 0 :
0 + 2(-z) + 2z = 0 Rightarrow -2z + 2z = 0 Rightarrow 0 = 0
Resolvendo o sistema y = -t z = t x ) não aparece nas equações, então pode ser livre também Vamos chamar ( x = s ) Então, os vetores solução são da forma: [ X = s -t t = s 1 0 0 + t 0 -1 1 :
1 0 0
Da terceira equação: 0 -1 1 . Substituindo na primeira equação:
Isso significa que é um parâmetro livre. Vamos chamar , onde pode ser qualquer número real. Então:
[
y = -t \
z = t \
x ) não aparece nas equações, então pode ser livre também. Vamos chamar .
Então, os vetores solução são da forma:
Portanto, todas as soluções para são combinações lineares dos vetores e .

Passo 6

Por fim, vamos para A - 3I = 2-3 & 2 & 2 0 & 2-3 & 0 0 & 1 & 3-3 = -1 & 2 & 2 0 & -1 & 0 0 & 1 & 0 :
Montamos a matriz - x + 2y + 2z = 0 - y = 0 y = 0 :
- x + 0 + 2z = 0 Rightarrow x = 2z
Resolvendo o sistema x = 2t y = 0 z = t :
X = 2t 0 t = t 2 0 1
Da segunda e terceira equação, temos 2 0 1 . Substituindo na primeira equação:
Aqui, é um parâmetro livre. Vamos chamar . Então:
Portanto, os vetores solução são da forma:
Assim, todas as soluções para são múltiplos do vetor .

Resposta

As matrizes solução X = 0 0 0 que satisfazem X = s 1 0 0 + t 0 -1 1 , onde s, t in R são:
  • Para X = t 2 0 1 , onde t in R :
  • Para :
  • Para :

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