b) Para cada valor de lambda encontrados no item anterior determinar todas as matrizes solução X=[lx y z] tais que A X=lambda X.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e já descobriu alguns valores de (que são os autovalores). Agora, o que a gente precisa fazer é encontrar todos os vetores que, quando multiplicados pela matriz , resultam em . Ou seja, queremos resolver a equação . Para isso, vamos trabalhar com autovalores e autovetores da matriz, usando conceitos de álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar quais são os autovalores da matriz . Esses autovalores são os valores que satisfazem a equação característica de , que geralmente encontramos resolvendo o determinante . Porém, como já identificamos os valores de no item anterior, vamos considerar que eles são , e .
Passo 3
Agora, para cada x y z encontrado, vamos determinar os vetores que satisfazem . Isso significa que vamos resolver o sistema linear para cada .
Montamos a matriz x + 2y + 2z = 0 y = 0 y + 2z = 0 :
0 0 0
Agora, resolvemos o sistema :
Da segunda equação . Substituindo na terceira equação: ⇒ . E na primeira equação: ⇒ .
Portanto, a única solução é . Isso significa que não possui autovetor não nulo, o que indica que esse autovalor tem multiplicidade algébrica maior que sua multiplicidade geométrica.
Resolvendo o sistema y = -t z = t x ) não aparece nas equações, então pode ser livre também Vamos chamar ( x = s ) Então, os vetores solução são da forma: [ X = s -t t = s 1 0 0 + t 0 -1 1 :
1 0 0
Da terceira equação: 0 -1 1 ⇒ . Substituindo na primeira equação:
Isso significa que é um parâmetro livre. Vamos chamar , onde pode ser qualquer número real. Então:
[
y = -t \
z = t \
x ) não aparece nas equações, então pode ser livre também. Vamos chamar .
Então, os vetores solução são da forma:
Portanto, todas as soluções para são combinações lineares dos vetores e .