Calcule o produto escalar u.v e encontre o ângulo theta formado entre os vetores u e v em cada caso a seguir.
b) u=(-6,-2) e v=(4,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o produto escalar entre os vetores u e v, além de encontrar o ângulo theta formado entre eles. Estamos trabalhando com vetores no plano, ou seja, com componentes em duas dimensões. Para isso, vamos precisar saber como calcular o produto escalar e como relacioná-lo com o ângulo entre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar u cdot v. O produto escalar entre dois vetores u = (u1, u2) e v = (v1, v2) é dado pela fórmula:
u cdot v = u1 times v1 + u2 times v2
Substituindo pelos valores dados:
u cdot v = (-6) times 4 + (-2) times 0 = -24 + 0 = -24

Passo 3

Agora, precisamos calcular as normas (ou módulos) dos vetores u e v. A norma de um vetor u = (u1, u2) é calculada por:
|u| = raizu1^2 + u2^2
Calculando a norma de u:
|u| = raiz(-6)^2 + (-2)^2 = raiz36 + 4 = raiz40 = 2raiz10
E a norma de v:
|v| = raiz4^2 + 0^2 = raiz16 + 0 = raiz16 = 4

Passo 4

Com o produto escalar e as normas dos vetores, podemos encontrar o cosseno do ângulo theta entre eles usando a seguinte relação:
u cdot v = |u| times |v| times cos(theta)
Rearranjando para encontrar cos(theta):
cos(theta) = u cdot v|u| times |v| = -242raiz10 times 4 = -248raiz10 = -3raiz10
Agora, para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco cosseno:
theta = arccos(-3raiz10)
Calculando o valor numérico:
theta approx arccos(-0.9487) approx 161,57^circ

Resposta

O produto escalar u cdot v é igual a -24, e o ângulo formado entre os vetores u e v é aproximadamente 161,57^circ.

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