Verifique se o conjunto em R2 é Linearmente dependente ou independente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de dois vetores no plano, que é o . O enunciado pergunta se esse conjunto é linearmente dependente ou independente. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa ser linearmente dependente ou independente e usar um pouquinho de álgebra para verificar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é ser linearmente dependente ou independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se a única solução para a equação for e , então os vetores são linearmente independentes. Se existir alguma outra solução, aí o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Vamos aplicar isso aos nossos vetores e . Queremos ver se existe alguma combinação onde e não são ambos zero. Vamos montar essa equação:

Passo 4

Agora, fazemos a soma das componentes:
Isso simplifica para:

Passo 5

Então, a gente vê que a única solução para essa equação é e . Não tem outra combinação de e que faça os vetores somarem o vetor zero.

Resposta

Portanto, o conjunto em é linearmente independente.

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b) e