Verifique se o conjunto (1,0),(0,1) em R2 é Linearmente dependente ou independente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de dois vetores no plano, que é o R^2. O enunciado pergunta se esse conjunto (1,0),(0,1) é linearmente dependente ou independente. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa ser linearmente dependente ou independente e usar um pouquinho de álgebra para verificar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é ser linearmente dependente ou independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se a única solução para a equação a cdot v1 + b cdot v2 = 0 for a = 0 e b = 0, então os vetores são linearmente independentes. Se existir alguma outra solução, aí o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Vamos aplicar isso aos nossos vetores (1,0) e (0,1). Queremos ver se existe alguma combinação a cdot (1,0) + b cdot (0,1) = (0,0) onde a e b não são ambos zero. Vamos montar essa equação:
a cdot (1,0) + b cdot (0,1) = (0,0)

Passo 4

Agora, fazemos a soma das componentes:
(a cdot 1 + b cdot 0, , a cdot 0 + b cdot 1) = (0,0)
Isso simplifica para:
(a, b) = (0,0)

Passo 5

Então, a gente vê que a única solução para essa equação é a = 0 e b = 0. Não tem outra combinação de a e b que faça os vetores somarem o vetor zero.

Resposta

Portanto, o conjunto (1,0),(0,1) em R^2 é linearmente independente.

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