Considere os vetores u=(2,-1,1) e v=(1,1,2). Calcule o produto escalar u.v e determine o ângulo theta entre u e v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, u = (2, -1, 1) e v = (1, 1, 2). Precisamos calcular o produto escalar (ou dot product) desses vetores e, depois, descobrir o ângulo theta entre eles. Para isso, vamos usar os conceitos de produto escalar e a fórmula para encontrar o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar u cdot v. O produto escalar de dois vetores é calculado multiplicando os componentes correspondentes e somando os resultados. Ou seja,
u cdot v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
Substituindo os valores:
u cdot v = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2)

Passo 3

Vamos fazer as contas:
u cdot v = 2 + (-1) + 2 = 3
Então, o produto escalar u cdot v é igual a 3.

Passo 4

Agora, para encontrar o ângulo theta entre os vetores, usamos a fórmula do produto escalar em termos do ângulo:
u cdot v = |u| , |v| cos theta
Aqui, |u| e |v| são as magnitudes (ou normas) dos vetores u e v, respectivamente.

Passo 5

Vamos calcular as magnitudes dos vetores:
Para u:
|u| = raiz2^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
Para v:
|v| = raiz1^2 + 1^2 + 2^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula do ângulo:
3 = raiz6 times raiz6 times cos theta 3 = 6 cos theta cos theta = 36 = 12
Para encontrar theta, tiramos o arco-cosseno de 12:
theta = cos^-1(12) = 60^circ

Resposta

O produto escalar u cdot v é igual a 3 e o ângulo theta entre os vetores u e v é 60^circ.

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