Seja T: R^2 R^2 uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor u=(3,1) e triplica o comprimento do vetor v=(1,3), sem alterar as direções nem inverter os sentidos. Admita que os vetores (3,1),(1,3) formam uma base do R^2. T é sobrejetora?

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear que atua no plano . Ela especifica que dobra o comprimento do vetor e triplica o comprimento do vetor . Além disso, essa transformação não muda a direção nem inverte o sentido desses vetores. Sabemos também que é uma base de . O que precisamos descobrir é se essa transformação é sobrejetora, ou seja, se todo vetor em pode ser alcançado por .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, ela transforma vetores de um espaço para outro de forma que mantenha as operações de adição e multiplicação por escalar. Como é linear e sabemos como ela age nos vetores da base, podemos entender completamente como ela funciona em todo o espaço.

Passo 3

Como T(u) = 2u = 2(3,1) = (6,2) forma uma base de T(v) = 3v = 3(1,3) = (3,9) , qualquer vetor no plano pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores. A transformação dobra o comprimento de e triplica o de , sem mudar suas direções. Isso significa que:

Passo 4

Agora, para representar [T]u,v = 2 & 0 0 & 3 como uma matriz, vamos considerar a base . A matriz de nessa base será diagonal, já que escala cada vetor da base por um fator constante. Assim, temos:

Passo 5

Para saber se é sobrejetora, precisamos verificar se a transformação cobre todo o espaço . Em termos de matrizes, isso acontece se a matriz de for invertível, ou seja, se seu determinante for diferente de zero.

Passo 6

Vamos calcular o determinante da matriz de det([T]u,v) = 2 times 3 - 0 times 0 = 6 :
Como o determinante é 6, que é diferente de zero, a matriz é invertível.

Passo 7

Como a matriz de é invertível, isso significa que é uma transformação linear bijetora. Portanto, é tanto injetora quanto sobrejetora.

Resposta

Sim, a transformação é sobrejetora.

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