Seja
uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor
e triplica o comprimento do vetor
, sem alterar as direções nem inverter os sentidos. Admita que os vetores
formam uma base do
.
é sobrejetora?
Passo 1
Vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear
que atua no plano
. Ela especifica que
dobra o comprimento do vetor
e triplica o comprimento do vetor
. Além disso, essa transformação não muda a direção nem inverte o sentido desses vetores. Sabemos também que
é uma base de
. O que precisamos descobrir é se essa transformação
é sobrejetora, ou seja, se todo vetor em
pode ser alcançado por
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, ela transforma vetores de um espaço para outro de forma que mantenha as operações de adição e multiplicação por escalar. Como
é linear e sabemos como ela age nos vetores da base, podemos entender completamente como ela funciona em todo o espaço.
Passo 3
Como
forma uma base de
, qualquer vetor no plano pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores. A transformação
dobra o comprimento de
e triplica o de
, sem mudar suas direções. Isso significa que:
Passo 4
Agora, para representar
como uma matriz, vamos considerar a base
. A matriz de
nessa base será diagonal, já que
escala cada vetor da base por um fator constante. Assim, temos:
Passo 5
Para saber se
é sobrejetora, precisamos verificar se a transformação cobre todo o espaço
. Em termos de matrizes, isso acontece se a matriz de
for invertível, ou seja, se seu determinante for diferente de zero.
Passo 6
Vamos calcular o determinante da matriz de
:
Como o determinante é 6, que é diferente de zero, a matriz é invertível.
Passo 7
Como a matriz de
é invertível, isso significa que
é uma transformação linear bijetora. Portanto,
é tanto injetora quanto sobrejetora.
Resposta
Sim, a transformação
é sobrejetora.
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Calcule o módulo das seguintes expressões dadas,
e)
e)
Calcule o produto escalar u.v e encontre o ângulo
formado entre os vetores
em cada caso a seguir.
b) e
b)
Calcule o produto escalar u.v e encontre o ângulo
formado entre os vetores
em cada caso a seguir.
c)
c)
Sejam
e
. Calcule:
b)
b)