Seja uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor e triplica o comprimento do vetor , sem alterar as direções nem inverter os sentidos. Admita que os vetores formam uma base do . é sobrejetora?

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear que atua no plano . Ela especifica que dobra o comprimento do vetor e triplica o comprimento do vetor . Além disso, essa transformação não muda a direção nem inverte o sentido desses vetores. Sabemos também que é uma base de . O que precisamos descobrir é se essa transformação é sobrejetora, ou seja, se todo vetor em pode ser alcançado por .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, ela transforma vetores de um espaço para outro de forma que mantenha as operações de adição e multiplicação por escalar. Como é linear e sabemos como ela age nos vetores da base, podemos entender completamente como ela funciona em todo o espaço.

Passo 3

Como forma uma base de , qualquer vetor no plano pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores. A transformação dobra o comprimento de e triplica o de , sem mudar suas direções. Isso significa que:

Passo 4

Agora, para representar como uma matriz, vamos considerar a base . A matriz de nessa base será diagonal, já que escala cada vetor da base por um fator constante. Assim, temos:

Passo 5

Para saber se é sobrejetora, precisamos verificar se a transformação cobre todo o espaço . Em termos de matrizes, isso acontece se a matriz de for invertível, ou seja, se seu determinante for diferente de zero.

Passo 6

Vamos calcular o determinante da matriz de :
Como o determinante é 6, que é diferente de zero, a matriz é invertível.

Passo 7

Como a matriz de é invertível, isso significa que é uma transformação linear bijetora. Portanto, é tanto injetora quanto sobrejetora.

Resposta

Sim, a transformação é sobrejetora.

Exercícios relacionados

Sejam e . Calcule o módulo das seguintes expressões dadas,
e)
Calcule o produto escalar u.v e encontre o ângulo formado entre os vetores em cada caso a seguir.
b) e
Calcule o produto escalar u.v e encontre o ângulo formado entre os vetores em cada caso a seguir.
c)
Sejam e . Calcule:
b)