Calcule o produto escalar u.v e encontre o ângulo
formado entre os vetores
em cada caso a seguir.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o produto escalar entre os vetores u e w, e também descobrir o ângulo que eles formam. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar e a relação entre ele e o ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se temos dois vetores u = (u₁, u₂, u₃) e w = (w₁, w₂, w₃), o produto escalar u ⋅ w é dado por:
Isso significa que a gente multiplica as componentes correspondentes dos vetores e soma esses produtos.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula com os vetores fornecidos:
u = (2, 4, -8)
w = (5, 3, 7)
Então:
Calculando cada termo:
- (2)(5) = 10
- (4)(3) = 12
- (-8)(7) = -56
Agora, somamos esses resultados:
Portanto, o produto escalar u ⋅ w é -34.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o ângulo θ entre os vetores u e w. Para isso, usamos a fórmula que relaciona o produto escalar com os ângulos:
Onde:
- ‖u‖ é o módulo (ou comprimento) do vetor u
- ‖w‖ é o módulo do vetor w
- θ é o ângulo entre os vetores
Resolvendo para cos θ:
Passo 5
Primeiro, vamos calcular os módulos dos vetores u e w.
Para o vetor u = (2, 4, -8):
Para o vetor w = (5, 3, 7):
Passo 6
Agora, substituímos os valores que encontramos na fórmula do cos θ:
Para facilitar, vamos aproximar o valor numérico:
Então:
Passo 7
Por fim, para encontrar o ângulo θ, usamos a funç��o arccos (ou cos⁻¹):
Resposta
O produto escalar u ⋅ w é -34 e o ângulo entre os vetores u e w é aproximadamente 114,5 graus.