Calcule o produto escalar u.v e encontre o ângulo theta formado entre os vetores u e v em cada caso a seguir.
c) u=(2,4,-8) e w=(5,3,7)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o produto escalar entre os vetores u e w, e também descobrir o ângulo que eles formam. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar e a relação entre ele e o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se temos dois vetores u = (u₁, u₂, u₃) e w = (w₁, w₂, w₃), o produto escalar u ⋅ w é dado por:
u cdot w = u1w1 + u2w2 + u3w3
Isso significa que a gente multiplica as componentes correspondentes dos vetores e soma esses produtos.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula com os vetores fornecidos:
u = (2, 4, -8)
w = (5, 3, 7)
Então:
u cdot w = (2)(5) + (4)(3) + (-8)(7)
Calculando cada termo:
  • (2)(5) = 10
  • (4)(3) = 12
  • (-8)(7) = -56
Agora, somamos esses resultados:
10 + 12 - 56 = -34
Portanto, o produto escalar u ⋅ w é -34.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o ângulo θ entre os vetores u e w. Para isso, usamos a fórmula que relaciona o produto escalar com os ângulos:
u cdot w = |u| |w| costheta
Onde:
  • ‖u‖ é o módulo (ou comprimento) do vetor u
  • ‖w‖ é o módulo do vetor w
  • θ é o ângulo entre os vetores
Resolvendo para cos θ:
costheta = u cdot w|u| |w|

Passo 5

Primeiro, vamos calcular os módulos dos vetores u e w.
Para o vetor u = (2, 4, -8):
|u| = raiz2^2 + 4^2 + (-8)^2 = raiz4 + 16 + 64 = raiz84 = 2raiz21
Para o vetor w = (5, 3, 7):
|w| = raiz5^2 + 3^2 + 7^2 = raiz25 + 9 + 49 = raiz83

Passo 6

Agora, substituímos os valores que encontramos na fórmula do cos θ:
costheta = -342raiz21 times raiz83 = -342raiz21 times 83 = -342raiz1743 = -17raiz1743
Para facilitar, vamos aproximar o valor numérico:
raiz1743 approx 41.75
Então:
costheta approx -1741.75 approx -0.407

Passo 7

Por fim, para encontrar o ângulo θ, usamos a funç��o arccos (ou cos⁻¹):
theta = arccos(-0.407) approx 114.5^circ

Resposta

O produto escalar u ⋅ w é -34 e o ângulo entre os vetores u e w é aproximadamente 114,5 graus.

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