Sejam e as transformações lineares dadas a seguir, determine se e e verifique se os resultados são iguais.
(a) é a projeção ortogonal no eixo e é a projeção ortogonal no eixo .
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem duas transformações lineares, e , que funcionam no plano . A projeta um ponto no eixo , e a projeta no eixo . Nosso objetivo aqui é descobrir se a composição dessas transformações, primeiro depois (ou seja, ), e primeiro depois (ou seja, ), são iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as projeções ortogonais e como compor transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos definir matematicamente as projeções. A projeção ortogonal no eixo transforma qualquer ponto em . Então, podemos escrever assim:
Da mesma forma, a projeção ortogonal no eixo transforma em , ou seja:
Passo 3
Agora, vamos compor as transformações. Primeiro, calculamos , que significa aplicar primeiro e depois no resultado. Tomando um ponto qualquer :
Em seguida, aplicamos a esse resultado:
Então, a composição transforma qualquer ponto em .
Passo 4
Vamos fazer o mesmo para . Primeiro, aplicamos a :
Depois, aplicamos nesse resultado:
Portanto, a composição também transforma qualquer ponto em .
Passo 5
Agora que temos as duas composições:
Percebemos que ambas as composições resultam no ponto para qualquer .
Resposta
Sim, e são iguais, já que ambas as composições transformam qualquer ponto no ponto .