Sejam
e
as transformações lineares dadas a seguir, determine se
e
e verifique se os resultados são iguais.
(a)
é a projeção ortogonal no eixo
e
é a projeção ortogonal no eixo
.
(a)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem duas transformações lineares,
e
, que funcionam no plano
. A
projeta um ponto no eixo
, e a
projeta no eixo
. Nosso objetivo aqui é descobrir se a composição dessas transformações, primeiro
depois
(ou seja,
), e primeiro
depois
(ou seja,
), são iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as projeções ortogonais e como compor transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos definir matematicamente as projeções. A projeção ortogonal no eixo
transforma qualquer ponto
em
. Então, podemos escrever
assim:
Da mesma forma, a projeção ortogonal no eixo
transforma
em
, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos compor as transformações. Primeiro, calculamos
, que significa aplicar
primeiro e depois
no resultado. Tomando um ponto qualquer
:
Em seguida, aplicamos
a esse resultado:
Então, a composição
transforma qualquer ponto em
.
Passo 4
Vamos fazer o mesmo para
. Primeiro, aplicamos
a
:
Depois, aplicamos
nesse resultado:
Portanto, a composição
também transforma qualquer ponto em
.
Passo 5
Agora que temos as duas composições:
Percebemos que ambas as composições resultam no ponto
para qualquer
.
Resposta
Sim,
e
são iguais, já que ambas as composições transformam qualquer ponto
no ponto
.