a - Calcule o produto misto (C times D) cdot A, onde A é um vetor de referência adicional de sua escolha. Interprete o valor obtido no contexto do volume do paralelepípedo formado pelos vetores.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o produto misto . Isso envolve conceitos de álgebra vetorial, como produto vetorial e produto escalar. Para resolver, vamos precisar entender como calcular esses produtos e como eles se relacionam com o volume de um paralelepípedo formado pelos vetores , e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial C times D = ( Cy Dz - Cz Dy, Cz Dx - Cx Dz, Cx Dy - Cy Dx ) . O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores iniciais. Se considerarmos e , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar desse resultado com o vetor U cdot V = Ux Vx + Uy Vy + Uz Vz . Suponha que (C times D) cdot A = (Cy Dz - Cz Dy) Ax + (Cz Dx - Cx Dz) Ay + (Cx Dy - Cy Dx) Az . O produto escalar entre dois vetores e é dado por:
Aplicando isso ao nosso caso:

Passo 4

Esse resultado do produto misto representa o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e . O valor absoluto desse produto nos dá justamente o volume, enquanto o sinal indica a orientação dos vetores no espaço (se é uma base direta ou indireta).

Resposta

O produto misto calculado dá o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e . Portanto, é igual ao volume desse paralelepípedo.

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