a - Calcule o produto misto
, onde
é um vetor de referência adicional de sua escolha. Interprete o valor obtido no contexto do volume do paralelepípedo formado pelos vetores.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o produto misto
. Isso envolve conceitos de álgebra vetorial, como produto vetorial e produto escalar. Para resolver, vamos precisar entender como calcular esses produtos e como eles se relacionam com o volume de um paralelepípedo formado pelos vetores
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial
. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores iniciais. Se considerarmos
e
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar desse resultado com o vetor
. Suponha que
. O produto escalar entre dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 4
Esse resultado do produto misto
representa o volume do paralelepípedo formado pelos vetores
,
e
. O valor absoluto desse produto nos dá justamente o volume, enquanto o sinal indica a orientação dos vetores no espaço (se é uma base direta ou indireta).
Resposta
O produto misto
calculado dá o volume do paralelepípedo formado pelos vetores
,
e
. Portanto,
é igual ao volume desse paralelepípedo.